Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 18. Ableitung weiterer notwendig. Bedingungen a. d.W ei e r s tr a ß'schen Satz. 117
und die beiden Endpunkte sollen die Koordinaten (x, Yl) -= (0, 0), (X2, y2) (1, 0)
haben.
Die Euler'sche Differentialgleichung reduziert sich hier auf
y" fyy,= O,
wo
fy,, = 2a - 24byy'+ 24bxy'.
Die einzige Extremale durch die beiden Punkte P1 (0, 0) und P2(1, 0) ist
die gerade Linie
o: y —0.
Die Bedingung (II') ist erfüllt, da
f y,(X (x), '(), ) (x) 2 a>. (')
Die Schar von Extremalen durch den Punkt Pl ist das Büschel von Geraden durch den Punkt P1; daher existiert kein zu P, konjugierter Punkt und
(III) ist erfüllt.
Ferner ist
8(x, y; y', p) ( - y) {(a — 8byy' - 6bxy' ) - 4bp(y- xy') + 2bx2 };
also entlang.o:
8 (, y(S); y'() j = 2(a + 2 bXP2)> (IV ')
für _) == 0.
Somit sind die Bedingungen (I), (II'), (I1'), (IV') erfüllt.
Trotzdem liefert der Bogen ~o kein
Minimum für das Integral J. Deinn
ersetzt man die Gerade P2P durch die
gebrochene Linie P1PP2 und bezeichnet /
die Koordinaten von P mit h> 0, k, so.I h
findet man für die totale Variation AJ
leicht den Ausdruck L
Fig. 22.
AJ=2[ -— bk + -+ a + 3b J+ (h),
wo (h) mit h gegen Null konvergiert.
Ist jetzt eine positive Größe Q beliebig vorgegeben, so wähle man i k < Q
und lasse h gegen Null konvergieren, während k festgehalten wird. Dann folgt,
da b> 0, daß /A J<0 für alle hinreichend kleinen Werte von h. Indem man
schließlich noch das Lemma über die Abrundung der Ecken (~ 14, c)) anwendet,
erhält man das Resultat, daß die Gerade P1 P2 in der Tat kein starkes Minimum
für das Integral J liefert.
d) Eine fünfte notwendige Bedingung1);
Man erhält eine weitere notwendige Bedingung durch eine Modifikation
des unter a) benutzten Verfahrens, die durch das obige Beispiel nahegelegt wird.
1) Vgl. BoLA, Transactions oftheAmericanMathematical Society,
Bd. VII (1906), p. 314.