Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 18. Ableitung weiterer notwendig. Bedingungen a. d.Weierstraß'schen Satz. 113
Angenommen, es wäre nun
8(X3, y3; p3, p3) < 0
wo 3= '(x3) das Gefälle von eo im Punkt P, bedeutet; so ließe
sich eine gewisse Umgebung des Punktes (x3, y,) angeben, in welcher
8 (x,y; p(x, y), 3) < 0,
wie aus der Stetigkeit der 8-Funktion als Funktion ihrer vier
Argumente einerseits und der Stetigkeit von p(x,y) andererseits
folgt. Daraus ergibt sich aber, daß der Integrand von AJ für
hinreichend kleine Werte von h im Intervall [x3 - h, x3] beständig negativ ist, also AJ< 0. Macht man schließlich noch von
dem Lemma über die Abrundung der Ecken (~ 14, c)) Gebrauch, so
erhält man den
Fundamentalsatz IV: Die vierte notwendige Bedingung für
die Existenz eines Minimums besteht darin, daß
8 ( (, 'y (x); y (x), p) o (IV)
fiür1) xu < x < x2 und für jeden endlichen Wert voyn p.
Diese Bedingung ist von WEIERSTRASS im Jahre 1879 entdeckt
worden2) und wird die Weierstraß'sche Bedingung genannt.
Beispiel IX: (Siehe p. 95)
f -y'2 + y3
Entlang der Kurve: y = 0 ist
(x, y(x); y'(x),p) =p(1 +).
Der Ausdruck kann in jedem Punkt von eo sein Zeichen wechseln; Bedingung (IV)
ist also nicht erfüllt und eo liefert kein starkes Minimum, wie wir schon in
~ 15, d) auf elementarem Wege gezeigt haben.
Beispiel X: Das Integral
X2
J=_. (1 + y') dx
x1
zu einem Maximum oder Minimum zu machen.
Nach ~ 6, a), Beispiel VI, sind die Extremalen gerade Linien; insbesondere
ist also die Extremale eo die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte P1
1) Zunächst für x, < x < xa und aus Stetigkeitsgründen auch für x = x,
und x x=.
) Vgl. p. 96, Fußnote 1). Für den hier gegebenen Beweis vgl. HEDRICK,
Bulletin of the American Mathematical Society, Bd. IX (1902), p. 14.
Bo1 za, Variationsrechnung. 8