Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

110 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
und P2 auf derselben Feldextremale liegen, nämlich auf der Extremale eo, so können wir den Zusatz zum Unabhängigkeitssatz anwenden, wonach
J= JJ. (23)
Daher können wir die totale Variation
AJ= J - Je,
auch schreiben
AJ-Jen-Ju.g*
Nun ist aber
x2
J=ffi- (,,, ( y)dx,
Xl
X2
J = {f(x, v, ) + (y' - p)f,(x, y,) }dx,
wobei p (x, y) = p gesetzt ist.
Somit erhalten wir
X2
LJ= =f{f(x, g, ~y')-f(x,,, p))- (y'- p)fy(x, y, p)}dx.
Führen wir jetzt die Weierstraß/'sche 8-Funktion1) ein mittels
der Definition
S(x, y; p, p) = f(x, y, ) -f(x, y, p) - ( - p)f,(x, y, p), (24)
wobei x, y, p, p als unabhängige Variable zu betrachten sind, so erhalten wir den
Fundamentalsatz2): Wenn der Extremalenbogen3) o mit einem
Feld umgeben werden kann, so läßt sich die totale Variation
J- JJ -Jeo
für jede zulässige Kurve Ö, welche ganz im Feld liegt, mittels der
Weierstr aß3'schen Formel
1) Vgl. ZERMELO, Dissertation, p. 66.
2) Von WEIERSTRASS selbst für das spezielle ("uneigentliche") Feld von
Extremalen durch den Punkt P1 und für den Fall der Parameterdarstellung gegeben (1879), vgl. ~ 33. Die Ausdehnung auf ein beliebiges Feld scheint zuerst
von H. A. SCHWARZ in Vorlesungen gegeben worden zu sein.
3) Vgl. p. 88, Fußnote 2).