Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 17. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 109
folgt nach bekannten Sätzen über Linienintegrale, daß das Integral J*
bei Umkehrung des positiven Sinnes der Integrationsrichtung einfach
sein Zeichen wechselt.
Im Gegensatz zu dem ~Hilbert'schen Integral" werden wir nach
ZERMELO und HAHN1) unser Integral: J =- (x, y, y')dx das ~Grundintegral" nennen, wo es wünschenswert ist, den Gegensatz beider
hervorzuheben.
Zusatz: Das Hilbert'sche invariante Integral J*, genommen
zwischen zwei Punkten Po, P derselben Feldextremale (, ist gleich dem
Grundintegral J, genommen von Po nach P entlang eben dieser Extremale (, vorausgesetzt, daß xo < x.
Denn wählen wir bei der Berechnung von J* die Extremale (
als Integrationsweg, so ist nach (9a) entlang (
y' =p(x, y);
also fällt in dem Integranden von J* das zweite Glied fort, und es
kommt
J*(P, P) = Je(PoP), (22)
wobei der Integrationsweg für das Integral J* eine ganz beliebige,
die beiden Punkte PO, P verbindende Kurve der Klasse C'
ist, welche ganz im Felde oY
liegt.2)
c) Ausdruck der totalen
Variation A J mittels der
g-Funktion:
Aus dem Unabhängigkeitssatz läßt sich nun nach HILBERT p
der Veierstraß'sche Satz folgendermaßen ableiten:
Es sei
Y: Y=g-(x), xTx x<2 Fig. 18.
S: y =(x), x, x, < X.
irgend eine ganz im Feld Vf gelegene Kurve der Klasse C', welche
die beiden Punkte P, und P2 verbindet. Da die beiden Punkte Pt
1) Encyclopädie, 1I A, p. 628.
2) Hier läßt sich unmittelbar ~ 20 anschließen.