Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

108 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
Die Gleichung (19a) ist nichts anderes als die bekannte Integrabilitätsbedingung für den Differentialausdruck
[f- yfy,]dx + [Lfyldy.
Bilden wir daher jetzt mit HILBERT') das Integral
J = (IAf(x, y, y)) + (y -p(, p )) f,( y, f (x,, (, y)) dx (21)
entlang irgend einer ganz im Felde of verlaufenden Kurve ( von der
Klasse C', von einem Punkt Po nach einem Punkt P, so ist der Wert
dieses Integrals unabhzängig2) vom Integrationsweg (E und nur von der
Lage der beiden Endpunkte Po, P abhänggig, wenn unter p(x, y) die
Gefallfunktion des Feldes verstanden wird.
Wir werden das Integral J7 das HIilbert'sche invariante Integral",
den Satz selbst den "Beltrami-Hiilbert'schen Unabhängigkeitssatz"
nennen.
Das Integral Je ist selbst ein Integral von der beim einfachsten
Variationsproblem betrachteten Art. Die Funktion unter dem Integralzeichen ist aber von der ganz speziellen Form
M(x, y) + y' N(x, y),
und daher ist das Hilb ert'sche Integral ein gewöhnliches Linienintegral3)
und läßt sich schreiben
Je =,J S(x, y,p) - pfy,(, y, p)) dx + fy,(x, y, p) dy. (21a)
Es hat daher, durch (21 a) definiert, nicht nur für die bisher
betrachteten, in der Form: y- y(x) darstellbaren Kurven eine Bedeutung, sondern allgemeiner für Kurven in Parameterdarstellung von
der in ~ 25, a) als ~gewöhnliche Kurven" definierten Klasse. Zugleich
1) HILBERT (loc. cit.) geht den umgekehrten Weg: Er setzt das Integral J*
mit einer unbestimmten Funktion p(x, y) an und fragt dann: Wie muß man die
Funktion p(x, y) wählen, damit der Wert des Integrals Ja vom Integrationsweg (
unabhängig wird? Er erhält dann rückwärts die Differentialgleichungen (20)
und (19).
2) Vgl. ~ 6, b). Die Bedingungen für die Anwendbarkeit des Satzes sind
erfüllt, denn da das Feld og ganz im Bereich R liegt, so sind die Funktionen
[f —y'f1,] und Lfy1,] in S nicht nur eindeutig definiert, sondern auch von der
Klasse C', und überdies ist der Bereich o einfach zusammenhängend.
3) Vgl. z. B. PICARD, Traite, Bd. I, Kap. III; BURKHARDT, Einfihrung in
die Theorie der analytischen Funktionen (Leipzig, 1903), p. 91.