Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 17. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 107
der Klasse C' ist und der partiellen Differentialgleichung (19) genügt,
so gibt es stets eine Extremalenschar, für welche diese Funktion p(x, y)
die Gefällfunktion ist, nämlich die durch das allgemeine Integral der
Differentialgleichung
dy
d P (x,y (20)
dargestellte Schar.
Bezeichnet nämlich
y = (x,a)
das allgemeine Integral der Differentialgleichung (20), so ist
also pp(x, )20a)
alx = x (x, s) + p?(x, ( ) 2. (20b)
Ersetzt man nun in der partiellen Differentialgleichung (19),
welche eine Identität in x, y darstellt, y durch p (x, a), so geht dieselbe unter Benutzung von (20a) und (20b) rückwärts in die Differentialgleichung (18) über, welche zeigt, daß die Schar: y = g(p(x, a) eine
Extremalenschar ist.
Beschränkt man jetzt x und a auf einen hinreichend kleinen
Bereich, so wird diese Schar ein Feld bilden, und die Gleichung (20)
sagt aus, daß die Funktion p(x, y) die Gefällfunktion für dieses
Feld ist.
b) Der Unabhängigkeitssatz:
Ordnet man die Glieder der Differentialgleichung (19) folgendermaßen an
[fyx - + [f y,]P- = [fy]- ([f' y] + [fyy']Py)P,
so sieht man, daß man dieselbe auch schreiben kann
xD [fY,]-ati [f - ylf ] ( wra)
Dieser wichtige Satz ist schon 1868 von BELTRAMIl) entdeckt worden;
er scheint jedoch von seiten der Variationsrechnung gänzlich unbeachtet 2)
geblieben zu sein und ist erst dreißig Jahre später von HILBERT3)
wieder entdeckt und in seiner grundlegenden Bedeutung erkannt worden.
1) BELTRAMI, Sulla teoria delle linee geodetiche, Rend. del R. Istituto
Lombardo (2), Bd. I (1868), p. 708 und Opere, Bd. I, p. 366.
2) Ich selbst bin durch Herrn KNESER auf die Beltrami'sche Arbeit aufmerksam gemacht worden.
3) Vgl. p. 106, Fußnote 1).