Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

106 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
der eleganten, von HILBERT1) herrührenden Methode bedienen, welche
unmittelbar an die Entwicklungen des vorigen Paragraphen anknüpft.
a) Die partielle Differentialgleichung für die Gefällfunktion.
Wir kehren jetzt zu den Voraussetzungen und Bezeichnungen von
~ 16, a) zurück und beweisen zunächst, daß die Gefällfunktion p(x, y)
des Feldes cf einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt. Aus der Definitionsgleichung (9) und den Formeln (15) und (15a)
erhält man für die partiellen Ableitungen der Funktion p(x, y);
(F = ) ( () + c) ax = (px) - ( ()
(cpw) (16)
Py (Tx.) a (xa)
wobei die Klammer wieder andeuten soll, daß in den Ableitungen von
qp das Argument a durch die Funktion a(x, y) zu ersetzen ist.
Aus (16) und (9) folgt
Z +ppy = (-xX)' (17)
Nun genügt aber die Funktion pi (x, a) als Funktion von x für
jedes a der Euler'schen Differentialgleichung; also ist
xfyy, + 9PZfyy +f - fy - (18)
wobei die Argumente der Ableitungen von f sind: x, Tp(x, a), 9q (x, a).
Ersetzt man in dieser in x und a identischen Gleichung a durch
a(x, y) und macht Gebrauch von (8), (9) und (17), so erhält man
den Satz, daß das Gefälle p(x, y) der folgenden partiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt:
aP [fYfYl +~t i if + [fi1-Ff 0 (19)
( + P ) + y + y- X] F 19)
wobei die Klammer [ ] bedeutet, daß in den eingeklammerten Funktionen
von x, y, y' das Argument y' durch p(x, y) zu ersetzen ist.
Umgekehrt: Kennt man irgend eine Funktion p(x, y), welche in
einem gewissen Bereich der x, y-Ebene eindeutig definiert und von
1) Vgl. Göttinger Nachrichten, 1900, p. 253-297 und Archiv der
Mathematik und Physik (3), Bd. I (1901), p. 231; vgl. ferner OSGooD's Darstellung loc. cit., p. 121; HEDRICK, Bulletin of the American Mathematical
Society (2), Bd. IX (1902), p. 11 und GoURSAT, loc. cit., Bd. II (1905), p. 617.
WEIERSTRASS' ursprünglichen Beweis werden wir bei Behandlung des Problems
in Parameterdarstellung geben (~ 33); für das x-Problem findet man denselben
bei OSGOOD, loc. cit., p. 115 und BOLZA, Lectures, ~ 20.