Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~17. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 105
Umgekehrt: Wenn fir den Extremalenbogen eo die Bedingung
R(x) 0 für x x < xx
erfüllt ist, und o läßpt sich mit einem Feld of von Extremalen umgeben, so ist
A(x, x) +0 für < x < x2. (III')
Beweis: Es seil)
y = q(x, a)
die Extremalenschar, welche das Feld of liefert, wobei
y = P(x, ao)
wieder die Extremale ~o darstellt. Da in unserer Definition des Feldes
inbegriffen war, daß die inverse Funktion a(x, y) von der Klasse C'
sein sollte, so folgt durch Differentiation der Identität (8) nach y, daß
SPa(x, a)ay= 1, also (p(x, a) + 0 in S;
also insbesondere, da eo in oV liegt,
a(X, ao) + in [x, x,]
Nun folgt aber ganz wie in ~ 12, b), daß die Funktion 9pa(x, a0)
der Jacobi'schen Differentialgleichung genügt; wegen der Voraussetzung R(x) + 0 in [x, x2] sind die allgemeinen Sätze von ~ 11, insbesondere der Sturm'sche Satz, auf das Intervall [xl x2] anwendbar.
Wäre nun x < x2, so würde durch Anwendung des Sturm'schen
Satzes auf die beiden linear unabhängigen Integrale Wp(x, a%) und
A(x, x,) folgen, daß gpa (x, a.) zwischen x, und x2 verschwinden
müßte, was einen Widerspruch involviert. Es folgt also in der Tat
A(x, x,) + 0 für x, < x < x2.
~ 17. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz.
Nachdem im vorigen Paragraphen der Begriff eines Feldes von
Extremalen entwickelt worden ist, können wir nunmehr zum Beweise
des W eierstr a ß'schen Fundamentalsatzes übergehen, welcher die Grundlage der modernen Variationsrechnung bildet, und der von WEIERSTRASS
im Jahre 1879 entdeckt worden ist. Zum Beweis werden wir uns
1) Hier hat (p(x, a) wieder eine allgemeinere Bedeutung als in dem unmittelbar vorangehenden Beweis.