Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

104 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
Stellt dann die Gleichung
y = )(x, a)
die Schar der Extremalen durch den Punkt Po dar, wobei der Wert
a a== wieder der Extremale @o entsprechen soll, so besitzt nach
~ 13, a) die Funktion (p die in ~ 16, c) vorausgesetzten Stetigkeitseigenschaften, und überdies ist
a (X, ao) + 0 in [X x2],
weil nach ~ 13, Gleichung (34),a (X, ao0) CA(x, xo),
wo C eine von Null verschiedene Konstante bedeutet. Somit erfüllt
die Extremalenschar durch den Punkt PO alle Bedingungen des unter
c) bewiesenen Satzes und bildet daher in der Tat ein den Bogen @o
umgebendes Feld. 1)
1) Die Extremalenschar durch den Punkt P1 selbst bildet nur ein uneigentliches Feld um den Bogen o, weil hier pa (x, a) -= 0. Trotzdem läßt sich
zeigen, daß (bei hinreichend kleinem k) durch jeden Punkt des Bereiches Ok mit
Ausnahme des Punktes P1 selbst, eine und nur eine Extremale der Schar
gezogen werden kann, für welche a - aO I < k. Denn im gegenwärtigen Fall
ist: p(xl, a) - y1 für jedes a und daher qoa (x, a) = 0. Daraus folgt, daß, wenn
wir definieren
(x, ia) (x, a( )/(x - 1), wenn x+x,
Tax(x", a), wenn x=-x,
die Funktion x(x, a) stetig ist im Bereich: X1 <x<X2, a- ao <d und
X((x, ao) = O in [x1 x9] auch für x =- x, da nach ~ 13, Gleichung (36), cpx(xi, ao,)+ 0.
Wir können daher k so klein wählen, daß: x(x, a) + 0 im Bereich: x1 < x < x2
1 a - a! < k. Daraus folgt aber, daß qpa(x, a) + 0 und daher ein konstantes
Vorzeichen besitzt im Bereich: x, < x < x", 1 a - ao ] < k. Und nunmehr kann
man weiterschließen wie unter c). Es ist auch zu beachten, daß es im vorliegenden Fall nicht möglich ist, eine Nachbarschaft (e) von (o in c, einzuschreiben, da die Breite des Streifens V1 gegen Null konvergiert, wenn x sich
dem Wert x1 nähert. Ferner sind die inverse Funktion a(x, y) und das Gefälle p (x,y) von der Klasse C' in ek außer im Punkt (x, y,), wo sie unbestimmt
sind. Wenn sich jedoch der Punkt (x, y) dem Punkt (x1, y1) längs einer ganz
in S" gelegenen Kurve ( von der Klasse C' nähert, so nähern sich beide
Funktionen bestimmten endlichen Grenzen; die Grenze von a(x, y) ist der Parameter a derjenigen Extremale der Schar, welche die Kurve (E in (x", y1) berührt; die Grenze von p(x, y) ist das Gefälle der Kurve (E im Punkt (x, y1).
Überdies besitzen die absoluten Beträge beider Funktionen endliche obere Grenzen
im Bereich Sk mit Ausschluß des Punktes P,. Diejenige von a(x, y) 1 ist k,
diejenige von p(x, y) 1 ist der Maximalwert von 1 qpx(x, a) 1 im Bereich (13).