Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 16. Konstruktion eines Feldes von Extremalen. 103
wobei die Klammer () andeuten soll, daß das Argument a durch a(x, y)
zu ersetzen ist.
Ganz ebenso folgt, daß auch ay existiert und daß
(a) (15 a)
Aus diesen Ausdrücken für ax und ay folgt dann wegen (14)
schließlich noch, daß die Funktion a(x, y) von der Klasse C' ist in ef.
Endlich läßt sich eine Nachbarschaft (9) von (o angeben, welche
ganz in ok enthalten ist. Denn jede der beiden stetigen Funktionen
p(x, ao + k)- (x, a),
und
((x, a) - p(x, a - k)
hat ein positives Minimum in [xlx2]; ist daher 9 der kleinere dieser
beiden Minimalwerte, so ist die Nachbarschaft (9) von eo ganz in Ek
enthalten.
Der Bereich oJ besitzt also die drei charakteristischen Eigenschaften eines den Bogen (o umgebenden Feldes, was zu beweisen war.
Da wir voraussetzen, daß der Bogen ~o ganz im Innern des Bereiches 9q liegt, so können wir nach dem Satz über gleichmäßige
Stetigkeit k stets so klein annehmen, daß das Feld Jk ebenfalls ganz
im Innern von S. liegt. Das soll in der Folge, wenn von einem den
Bogen e0 umgebenden Feld die Rede ist, stets vorausgesetzt werden.1)
d) Zusammenhang mit der Jacobi'schen Bedingung:
Wir können jetzt den folgenden Satz beweisen:
Sind für den Extremalenbogen2) eo die Bedingungen
R(x) = 0 fiir x < x < x2,
und A(x, x) = 0 fir x, < x x (III')
erfillt, so läßt sich der Bogen eo stets mit einem Feld von Extremalen
umgeben.
Zum Beispiel liefert die Extremalenschar durch einen auf der
Fortsetzung von e( über den Punkt P, hinaus hinreichend nahe bei
Pl angenommenen Punkt PO ein solches Feld.
Zum Beweis ist es nur nötig, die Abszisse x0 des Punktes PO so
zu wählen wie in ~ 12, a). Dann ist in der dortigen Bezeichnung
A(X,xO)+ 0 in [x xx2.
1) Der Leser möge von hier direkt zu ~ 17 übergehen.
2) Vgl. p. 88, Fußnote 2).