Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 16. Konstruktion eines Feldes von Extremalen. 101
Beweis: Aus (12) folgt, daß die Funktion Pa(x, ao) in [xx2]
ihr Zeichen nicht wechseln kann, da sie stetig ist. Um die Ideen zu
fixieren, wollen wir annehmen, es sei
9a(X, ao) > 0 in [x x2]. (12a)
Dann folgt nach ~ 21, b), daß 7 do so klein genommen werden
kann, daß
q,(X, a) > (14)
im ganzen Bereich (13).
Es bezeichne jetzt Pik das Bild des Bereiches (13) der x, a-Ebene
in der x, y-Ebene mittels der Transformation (10), und es sei P (x3, y3)
irgend ein Punkt von ok, d. h. also irgend ein Punkt auf einem der
Bogen der Schar (10), (13). Dann ist x, x3 n xs und es gibt
mindestens einen Wert a = a3 im Intervall [ao - k, ao + k], so daß
y3 = (x, a,).
Wir haben zu zeigen, daß es außer dem Wert a3 im Intervall [a0 - k,
aO + k] keinen zweiten, von a3 verschiedenen Wert a3 geben kann,
für welchen ebenfalls
y3= - (x, a).
Wäre das der Fall, so wäre
9 (x3, a3) = (p(x3, a).
Dies ist aber nicht möglich; denn') wegen (14) wächst die Funktion
cp(x, a) beständig von dem Anfangswert p (x3, a - k) bis zu dem
Endwert (x3, ao + k), während a
von a - k bis aO + k zunimmt; es. aO+k
ist also 9p(x3, a') p (x3, a3), jenach- N
dem a3 t a',. - --
Somit ist der Bogen a = a3 der -
einzige der Schar (10), welcher durch - ao-k
den Punkt (x3, y.) von ok hindurchgeht, und für welchen 1 a - ao < k.
Zugleich folgt, daß das ganze x -, X,
Segment Fig. 17.
((x3, ao - k) y < (X3, ao + es)
der Geraden x = x3 (in Fig. 17 mit MN bezeichnet) zu ES gehört.
Die Punktmenge ek ist also identisch mit dem Flächenstück der
1) Statt der hier gewählten Begründung kann man auch den Rolle'schen
Satz anwenden.