Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 16. Konstruktion eines Feldes von Extremalen. 97
welcher von den Extremalenbogen (6) überstrichen wird, wenn der
Parameter a von a1 bis a2 wächst.
Da die Begrenzung 2 des Bereiches (7) eine stetige, geschlossene
Kurve ohne mehrfache Punkte ist (eine sogenannte ~Jordan'sche
Kurve"), so ist auch das Bild 2' von 2 eine solche Kurve; sie teilt
daher nach A VI 2 die x, y-Ebene in ein Inneres und ein Äußeres.
Nach einem allgemeinen Satz von SCHÖNFLIES') ist dann die Punktmenge eo identisch mit dem Inneren der Kurve 2' zusammen mit der
Begrenzung 2'. Das Feld ist also stets einfach zusammenhängend.
Analytisch bedeutet die oben gegebene Definition eines Feldes,
daß die Gleichung
y-= ((x, a)
für jeden Punkt (x, y) des Bereiches o eine und nur eine Wurzel a
besitzt, welche der Ungleichung (6a) genügt; diese Wurzel ist also
eine in o eindeutig definierte Funktion von x und y, die wir mit
a = a(x, y)
bezeichnen und die inverse Funktion des Feldes nennen, so daß also
y - (x, a(x, y)), a a(x, y) < a (8)
fir jeden Punkt (x, y) von o und
a a(x, p(x, a)) (8 a)
für jeden Punkt (x, a) des Bereiches (7).
Es soll dann neben der angegebenen Haupteigenschaft des Feldes
noch die weitere Bedingung in die Definition des Feldes aufgenommen
werden, daß die inverse Funktion a(x, y) im Bereich oQ von der
Klasse C' sein soll.
Wir beschränken uns überdies ausschließlich auf Felder, welche
ganz im Bereich J9 liegen.
Die durch einen beliebigen Punkt (x, y) von S gehende Feldextremale hat in diesem Punkt ein ganz bestimmtes Gefälle, welches
daher ebenfalls eine in So eindeutig definierte Funktion von x und y
ist; wir bezeichnen dieselbe mit p(x, y) und nennen sie die Gefällfunktion des Feldes, so daß also
1) Vgl. A VII 2; um den Satz von SCHÖNFLIES anwenden zu können, transformiere man zunächst den Bereich (7) in ein Quadrat mittels der Transformation
x - x (a) a - aC
(a) _ (a)' ~ a -a
Bo z a, Variationsrechnung. 7