Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

94 Drittes Kapitel. Hinreichende Bedingungen b. d. einfachsten Klasse v. Aufgaben.
und c2 + Xt - -+ > 0 in [x, x2] und daher A J> 0, vorausgesetzt,
d+v
daß o < Q und [o' | < g', womit der Satz bewiesen ist.
c) Schwache und starke Variationen:
Die Ausdrücke "schwach" und "stark" werden bisweilen auch auf die
Variationen übertragen. 1) Eine einen Parameter E enthaltende Variation
y = c(x, E)
heiße schwach, wenn nicht nur
LG)(x, E) = 0, sondern auch LG '(x, ~) =0,
= 0 e=0
und zwar gleichmäßig2) im Intervall [x1 x2], dagegen stark, wenn zwar
die erste aber nicht die zweite Bedingung erfüllt ist.
Sowohl die Variationen der Form
A y = sc
als auch die allgemeineren in ~ 8 betrachteten "Normalvariationen"
sind schwache Variationen. 3)
Dagegen stellt die Funktion4)
sin (x - x) (x - x)
Ey = E sin (Z e-2,
wo n eine positive ganze Zahl ist, eine starke Variation dar; hier
ist die Bedingung
LAy =0
LEy = 0?=o
erfüllt, aber nicht die Bedingung
LA' =0.
== 0
Andere Beispiele von starken Variationen werden in ~ 15, d)
vorkommen.
d) Unzulänglichkeit der Bedingungen (I), (II'), (III'), für ein
starkes Minimum:
Wir kehren jetzt wieder zum starken Extremum zurück und
beweisen, daß die drei Bedingungen (I), (II'), (III') für ein starkes
1) Vgl. OSGOOD, loC. cit., p. 106. Die Terminologie ist schwankend.
2) Vgl. A II 6.
3) Daraus folgt, daß die Bedingungen (I), (II), (III) nicht nur für ein starkes,
sondern auch für ein schwaches Minimum notwendig sind.
4) Dies ist eine von GOURSAT herrührende Modifikation eines Beispiels von
WEIERSTRASS.