Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 15. Hinreichende Bedingungen für ein "schwaches Extremum". 93
Mittelst der Legendre'schen Transformation (~ 9, b)) läßt sich
das erste Integral auf die Form bringen
-Sr[R(t + Q+w W) + (p + W s +* d]d.
x1
Da wir voraussetzen, daß die Bedingungen (II') und (III') erfüllt
sind, so existieren 1) Lösungen der Lege en dr e'schen Differentialgleichung
dw (Q-+W)2 _ 4
P+ dx R o (4
welche in [xi x2] von der Klasse C' sind. Daraus folgt nach allgemeinen Sätzen2) über Differentialgleichungen, welche einen konstanten Parameter enthalten, daß auch die Differentialgleichung
dw (Q -+ w?5c
dp +d2 (5)
Integrale besitzt, welche in [x x2] von der Klasse C' sind, vorausgesetzt, daß die Konstante c hinreichend klein genommen wird.
Wählen wir für w ein solches Integral von (5) und schreiben zur
Abkürzung:
Co'+ Qw
so nimmt der Ausdruck für AJ die folgende Form an:
2
A J- J[(c2 + A) Co2 + 2C + (RJ + v)2]dx,
wo A, /t, v in demselben Sinne wie L und N gleichmäßig unendlich
klein sind in [xr x2]. Statt dessen können wir aber schreiben
X2
_ _ EL 2 1
J 2 (f[ +)v)( R+ v C) +( + C-R+V) ]dx,
und da, t,, v in dem angegebenen Sinne unendlich klein sind, so
können wir zwei positive Größen Q und 9' so wählen, daß R + v > 0
1) Dies folgt aus dem Zusammenhang zwischen der Legendre'schen und
Jacobi'schen Differentialgleichung, vgl. ~ 10, a) und ~ 12, a).
2) Siehe die Zitate auf p. 82, Fußnote 2) und ~ 24, e).