Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 15. Hinreichende Bedingungen für ein "schwaches Extremum". 91
nicht nur der Abstand, sondern auch der Unterschied in der Richtung
der Tangenten hinreichend klein ist.1)
b) Das schwache Extremum:
Sehen wir jetzt zu, was aus den beiden Voraussetzungen (II')
und (III') wirklich gefolgert werden darf. Wir können das Resultat
am einfachsten formulieren, wenn wir den Begriff des "schwachen
Extremums" einführen2): Wenn es zwei positive Größen 9 und Q'
gibt, derart, daß AJ7> 0 für alle zulässigen Variationen, für welche
gleichzeitig
I y 1 < Q und | a' < 0' für x, < x x, (3)
so sagt man nach KNESER (Lehrbuch, ~ 17): die Kurve (o liefert ein
schwaches Minimum für das Integral J, und unterscheidet davon das
Minimum, wie wir es nach WEIERSTRASS definiert haben (~ 3, b)), und
bei welchem die zulässigen Variationen nur durch die erste Ungleichung
Ay j < eingeschränkt sind, als starkes Minimum. Aus der Definition folgt, daß, wenn eine Kurve ein starkes Extremum liefert, sie
allemal auch a fortiori ein schwaches Extremum liefert, aber nicht
umgekehrt.
1) Auf diesen Punkt hat zuerst TODHUNTER aufmerksam gemacht, siehe
Researches in the Calculus of Variations (London and Cambridge, 1871), p. 269.
2) Man kann das schwache Extremum noch kürzer definieren, wenn nian
mit KNESER den Begriff der "engeren Umgebung" einer Kurve
y(: =y(x),:S1 < < x
von der Klasse C' einführt. Darunter versteht man irgend einen Bereich im
Raum der Variabeln x, y, y', welcher die Kurve
y=y(x), y' = y'(x), x <X<<x2
ganz in seinem Innern enthält.
Weiter sagen wir, eine zweite Kurve
y = ( (x), X1 < < x<
liege in einer gewissen engeren Umgebung 91' von L, wenn die Kurve
y-: y (x), y' = (x), x < X2
im Raum der Variabeln x, y, y' in i2' liegt.
Unter Benutzung dieser Terminologie können wir sagen: Die Kurve o liefert
für das Integral J ein schwaches Minimum, wenn: A J> 0 für alle zulässigen
Variationen in einer gewissen engeren Umgebung von o.
ZERMELO hat diese Unterscheidungen noch weiter ausgebildet, indem er von
einer Umgebung Oter, I,..e. ter Ordnung spricht, vgl. Dissertation, p. 29.