Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 14. Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung. 87
welche ebenfalls die beiden Punkte P, und P2 verbindet und im
Bereich 9- liegt, und durch Verkleinerung von h können wir erreichen, daß die Differenz Ja - J, dem absoluten Wert nach unter
jede vorgegebene Größe sinkt. Da nun nach Voraussetzung JG - Jo < 0,
so können wir durch Verkleinerung von h auch erreichen, daß
J2 J < O, Q.E.D.
Wir dürfen daher jetzt den Satz aussprechen:
FIun damentalsatz III: Die dritte notwendige Bedingung fiir ein
Minimum (Maximum) besteht darin, daß
A(x, x,) 0 (III)
für alle Werte von x in dem offenen Intervall x, < x< x2.
Zusatz: Dieselbe Bedingung läßt sich auch schreiben: x2 < x'
oder aber xa' existiert nicht, d. h. wenn der Endpunkt P2 jenseits des
zu Pt konjugierten Punktes P,' liegt, so findet kein Maximum oder
Minimum statt.
Wir werden diese Bedingung die Jacobi'sche Bedingung nennen.
des Punktes C ganz im Innern des Bereiches R liegt, so hat die Funktion
1 f(x, y, y') ein endliches Maximum M im Bereich
Ix -al<,, IY b<Q Y' <[ZL.
Wählt man jetzt h <Q, so ist das Integral J, genommen entlang irgend
einer Kurve: y-=y(x) der Klasse D', welche ganz in [Q]c liegt und der Bedingung y'(x) | <L genügt, vom Punkt a - h bis zum Punkt a + h, dem absoluten Wert nach kleiner als 2hM, also
J (Q, C ) — J(QQ) < 4hM.