Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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4 ~~~~~~~~P. PAINLEVE.

PREMIERE PARTIE.
ETUDE DUNE FONCTION DANS LE VOISINAGE D'UNE COUPURE.
CIIAPITRE I.
1. Avant d'aborder le'tude d'une fonction dans le voisin age d'une conpure, il convient d'e'num~rer brie'vement les singularite's que peuvent offrir
les symboles qui repre'sentent, dans une partie du plan, une fonction uniforme de la variable z -x +i iy.
Soit une expression de la forme P(x, y) -~ — i Q(x, y), les fonctions P et Q
etant uniformes dans tout l'espaco dui plan x Oy oii elles sont de'finies. Nous
supposons de plus qn'eu chaque point d'uno corlaine aire 5, P +i iQ admotLe
une de'rive'o par rapport 'a z ot, par suite, qu'ello represente dans S une
fonction holomorphe doe z..Conside'rons dans le plan une aire ferme'e quelconque a7: P +4 iQ sera
dans g fonction hiolomorphe de z, sauf peut-e'tre en certains points. Ces
points pourront etre en nombre infini (comprendre par exemple tous les
points de a) et affecter des distributions divorses.
En premier lieu, si tous los points sunguliers peuvent e'tre enferne's 'a Finte'rieur de- cercles n'ayant pas do points communs et de rayon aussi petit
qu'on veut, nous dirons que l'ensemble de cos points E est poncluel. Les
points forment alors des suites ayant pour lirnites d'autres points, formanL
eux-nmemes des suites analogues. La classification do ces ensembles a 'e
faito par M. Cantor.
En second lieu, si tous les points no satisfont pas 'a la condition precedente, mais pouvont e'tre enferme's 'a linte'rieur do contours tels quo l'aire
totalo enclose soit aussi petite qu'on vent, nons dirons quo l'ensemble E ost
line'air-e. Los points forment alors des suites on des ensembles ponctuels,
ayant pour limitos des lignes: autromont dit, il existe des lignes telles quo,
si l'on de'crit un cercle d'nn quelconque do lours points commo centre, ce
cercie renformo un nombro infini do points E, si petit quo soit son rayon.