Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEvt -

la fonction P +i iQ est holomorplie et diff~rente- de zero aux environs de s,
ei prend sur s des -valeurs telles que Px' -v Qy'- o.
CetLie fonction est holomorphe dans tout lFespace S, car P +i iQ - ___
et D' (z) ne s'annule pas dans S; P +4 iQ s'annule pou~r la valeur z0, qui annule? (z), valeur qu'on pent touj ours supposer e'tre o. Dans lc voisinage dc
oP-4- iQ est de la forme z(i +i zA), car le re'sidu de relatif
auple z o, est e'gal 'a. i.
Conside'rons alors les courbes C normales, en chacun de leurs points z, 'a
la droite z- a. Elle s v~rifieni L 1 quation diff~rentielle P dx +~ Q dy o, qui
a pour integrale generale U -- R. Pour des valeurs de R<R,, ces courbes sont
ferm ees, sans points comumuns, inte'rieures ai s et tendeni vers s quand IR
tend vers R,; elies entourent le point 1z - o pour lequel?()s'annule. Je
dis, de plus, que ces courbes sont convexes ci n' out qu'uLn contact. simple
a-vec leurs tangentes. En effet, soit D. lFangle que fait avec Ox la normale
en M 'a Pune des courbes C. Ii suffit de prouver que dQ garde un signe consiant ci ne s'Iannulc pas quand M parcourt la courbe C. Par hypothe'sc
sur SI do- est touj ours positif; de'signons par x - f(O, 11), y f, (O, RI),
les coordonnees d'un point de C (C correspondant 'a la -valeur RI), f etf
sont des fonctions continues de 0 et de RI
d~~. _2 Odx O,.,dy dE2, d~q
dO d + ay dOa-x Qy
Oni saiL que
x Q
I --- ct, d'autre part, tang 0.
On de'duIi de la' que?e'tant une fonction de 0 et R (on de x et y) e'gale 'ai 1jX~ ' est
+X Qy'
une fonction continue qui ne s'annule pas dans S, ci qui, par suite, garde
un signe constant; en effet,
>p~~x~~y) P-v Qy*
IJ-(X9 Y x2 2