Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNTES SINGULIE~RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9

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proprietes admises. Nous allons de'montrer qu'il existe une idlle foncetion
pour toute courbe convexe s, n'ayant qu'un contact simple acec to tiles ses
tangentes, si; en cliaque point z cle cette courbe, les cderi-ives d2
dI d/I
(I e'tan t l'a7r de cour-be) existent et sont continues.
Prenons comme parame'tre arbitraire lFangle 0 que fait avec la direction
lixe Ox la droite OM qui joint 1Forigine 0, inte'rietire a' s, ai un point M
de s. Le long~ de s, ~ dy- sont continues, et l'expression 3YY reste
d~~~~~l ~~~(XI2~__y12) 2
superieure 'a un certain minimiunm positif.
Par hypoffie'se, la droite (z - a) est normale 'a s, quand z parc ourt s. ii
Q__
faut trouver une fonction P +i iQ, telle que p- tende vers - x' quand z tend
I. ~~~yI
vers M, telle, par suite, que, le long de s,
P dx+ Q dy -o.
Posons
P 2 02 ~~P2 _t- Q2
ll vient
PI dX - Qi dy - O.
Si la fonction P +- iQ. existe et que U +i Vi d'signe son int6grale, IU
prend sur s une valeur constante.
Ceci pose', la demionstration est facile dans le cas oui s estiuneo ligne anailytiqute 7rdgouieuire.
Gas ot't s est tine ligne analytique rdegutliet-e. -SoiL zi - (z) une des
fonctions qui represeftent, d'une manie're conformne, l'espace S sur un
cercelede centre 0. Posons U -+- V i - L?(z): U prend une -valeur constante
R, le long de s. Nous avons d6inontre', dans la premniere Partie, que la fonction U +~ iV est continuable an dela' do 5, e holornorphe dans le voisinage
do s, do part et d'autre. Ii en est de me'me de ses de'rive'es successives. Soit
-Pdi = X Q V le long de s, Pi dx - Qcly 0; P1 et Qi ne s'annulent pas 'a la fois sur s, sinon la courbe s, U(x,y) ftR, pre'senterait un
point singulier.
Si Pon pose
P1 QI
P 1j)2 __Q 2 L P2 HQ.2