Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 89
serie de la forme q((x), qui represente zero dans Faire 1', exterieure aux
cercles c, a,,,,..., et renfermant S.
Remarquons que, dans la d6monstration, on peut remplacer la fonction
I par la fonction (z - x), (x) ayant au point x o un p6le d'ordre i,
dont le r6sidu est egal a l'unite, et ses points singuliers A,, A2,... etant tels
que les points x + A,, x +- A,,... restent compris dans l'aire Z quand x
reste compris dans 'aire Z'. L'expression (-I est alors remplacee par
(X - ocj)','i (z - Ck,), et les coefficients sont independants de la forme de,. On
peut prendre, par exemple, pour +(z) la fonction Z(z). On deduit de la,
pour un contour quelconque, des remarques analogues a celles qu'a indiquees M. Appell dans le cas d'un contour d'arcs de cercles (').
Si nous considerons les premiers termes de c, (x)
a' I'i a"
(X —) -- +... *- I 2 +-.
X -X- CC. (x - 1)2
On voit que, dans le cas ou S est l'espace exterieur a un contour s,
(2').2 F(x) dx = a'- b'+..+ ',
c'est-a-dire que cette somme est egale au residu de la coupure s.
Quand S est l'aire interieure a s, rappelons-nous que
I al a__ _
x - a x O-Ci ' - (x -. ( )2
et que
a,-+ bl -... H- ll o
identiquement. D'autre part,
a/' —. a,(z- a)f(z) d,.;
done
a' — b'-+...- l' - (z- a)f(z)(a,- b, +...+ l) d-= o.
(1) Mathematische /Aznalen, t. XXI.
P. 12