Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

forme
F(x) - ~( x a>
n=O
A quelles conditions cc point A existe-t-il? On sait que la figure qui correspond 'a s dans la transformation z, - __peut coincider avec la figure
inverse de s par rapport an point A ( i e'tant la puissance d'inversion). Si
l'arc BC de s tourne sa convexite' vers A, 1'arc inverse B, C, tourne sa concavitL' vors A. Si BC tourne sa conceavite' vors A ot si A est inte'rieur 'a tous
los cercios C osculateurs de lFarc BC, BC, tourne sa concavit6 vers A. Si
A ost exte'rieur 'a tous los cercies C,7 B, C., tourne sa convexite' vors A. Quand
un cercie C passe par A, B, C, pre'sente une infiexion.
Ceci pose', uno discussion tre's simple montre que le point A exisLe aux
conditions suivantos S no pre'sente pas d'angle rentrant; de plus, si C' d6 -signe los cercies osculateurs 'a s en tons los points oiii s tounre sa convexite'
vers 5, C"" los, cercies osculateurs aux antros points, il fant qu'il y ait, enl
dehors do 5, uno aire inte'rienre 'a tons los cercles C' et ext~rieuro 'a Lous
los cercies C"".
Un point quelconque do cetto aire jouit de la proprie'te e'noncee.
Los cercles C' et C"" so r6duisent 'a dos droitos anx points d'infloxioin. Si,
on particulior, s ost convoxo, mais renferme dos segments do droites, il fau[,
pour quo A oxisto, quo los demi-plans situe's par rapport 'a ces droites dii
cote' opoe 'a la courbe s aicut uno partic commune (ccci a tonj ours lien si
s no renfermoe quo doux segments do droitos).
Qunand lo point A n'oxisto pas, on poul toujonrs (S e'tant une aire quelconque sans anglo rontrant) decomposer s en arcs PQ assoz petits pour qu'il
oxisto, on dohors do 5, nn point oc, tel qne los corolos tangents 'a s en chaque
point do PQ et passant par ccsoicut exte'riurs 'a S. On pout e'crire
f (z) dz~ F( dz.
la fonction 1(X) fFQ Fd L prsente la ligne PQ commo coupuro. Posons
x
x - c