Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIE~RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 8

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par suite,
P,,(x) de'signant un polyno'me en x de degre' n. On voit donc qu'une fonction F(x), holomorphe dans 5, peut se d~celopper- dans cette air-e enl se'tie
de polyndomes.
Discussion. - Nous avons admis qu'on ponvait tracer, en chaque point
de s, un cercle tangent 'a la courbe et comprenant s ason intetieuicu. Ceci
est exact si la courbe s n'a, en chaque point, qn'un contact simple avec sa
tangente. Soit, en effet, une courbe convexe passant par l'origine et ayant
en ce point un contact simple avec Ox ( Oy est dirige' vers le centre de courbure). Pour les valeurs de x comprises entre - et -+ c- a 3 et +i ac etant
les abseisses des tangentes paralle'les 'a Oy), on a
y = (X)~ 1.2Y(x)
Tra~ons un cercie tangent 'a O x, de rayon supe'rieur an plus grand des nombres v. et (3, ainsi qu'a' d (d de'signe l'ordonne'e de la tangente, paraillel 'a
Ox). Si, entre - (3 et ~-+ a, l'ordonne'e du cercie
Y -- R_- /12_ -
est plus petite que l'ordonne'e correspondante de s entre ac et - (3, le cercle
comprend s 'a son inte'rieur. Soft ~t une valeur infe'rieure (ou e'gale) 'a la plus
petite valeur de ~"(O x) entre ~+ a et - (3(- est positif) entre cc e L - (3, y
2
est supe'rieur on egal a 1x2 I suffit donc que x2-Y ne soit j amais n egatif entre - 3et -t- ca. Ceci pent s'e'crire
R - p-x2<VR2_ X2
(RI - V.X2 est positif, puisque RI est supe'rieur 'a d). Elevons an carre'; il
vient, apre's reduction,
2 2~
Prenons maintenant un point M quelconque sur la courbe s; x et y sont
fonctions d'un certain parame'tre, et le long de s, (x'y" -y'x") est, par