Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQIUES.3

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ces propositions. Nous donnons, avec une d~monstration un pen diff6rentc
de ces the'ore'mes, plsieurs modes de d~veloppements en s~ries des fonetions pre'sentant dans le plan nne seule coupure, auxquelles on se trouve ramene. Un premier de'veloppement, analogue 'a la se'rie de Taylor, repose
sur la representation conforme; les autres ge'neralisent les de'veloppements,
indique's par MI. Appell dans le cas d'nne fonction holomorphe 'a 1inLe'rieur
d'un contour d'arcs de cereles. Us d~coulent de ce the'ore'me que [oute fonetion holomorphe dans une aire convexe peal se ck'veloppe7r danls Celle ai7e
en se7i~e de poly71omes.
Les notions de Tresidu, d'or-dre, de 7resle (de'finis soit comme integrales,
soit comme coefficients) se ge'neralisent de's lors facileruent avec les propositions qui s'y rattachent.. En particulier, le the'ore'me des re'sidus et les
the'ore'mes de Liouville subsistent pour les fonctions doublement pe'riodiques 'a singularite's quelconques.
Enfin, plusieurs des re'sultats e'nonc~s ont e'te e'tendus auix fonctions V
de deux on trois variables qui satisfont 'a e'~quation AV — o.