Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVIE.

analytique est une surface telle, que ses coordonnees x, y, z s'expriment
en fonction analytique de deux parametres c et (
- (r(a, P), y- = (,), ), = x(a, ),
O,, etant definies pour des valeurs reelles et imaginaires de c, ( voisines
de cv, po (le couple ao, P, d6finit un point de la surface). Si V(x,y, z) est
continuable au dela de S, V prend sur S (ainsi que ses derivees d'ordrc
quelconque) des valeurs V, (a, (), oui V, (a, () est une fonction analytique de a, (; car remplacons x, y, z en o, ( dans V(x,y,z); les coordonnees x, y, z sont definies en fonction de o, P pour des valeurs imaginaires de o, ( voisines de ac, P0, et V(x,y, z) est definic pour des valeurs
imaginaircs de x, y, z voisines de x0, Yo; il en resulte que V, (a., ) est une
fonction de a, 3 definie pour les valeurs reelles et imaginaires de a, P voisines dc a0, P0; c'est done une fonction analytique de cc,. Il en est de memne
O, ^ (, dv
des valeurs de —, ou
dx oy dn
Inversement, quand une fonction V(x,y,z) prend sur S des valeurs
V (a, P), et des valeurs V' (c, 3), V, et V' etant fonctions analytiques de
a,, cette fonction est-elle continuable au dela de S? Autrement dit,
existe-t-il une fonction V(x,y, z) reguliere de part et d'autre de S et verifiant sur S ces deux conditions? Ii n'en peut evidenmment exister qu'une, et,
si elle existe, les valeurs de ses derivees partielles en un point xo, Yo, Z de
S s'obtiennent en derivant les equations
V,(x,y,z)=-Vi,(,),
dV
Ox (c,,,z) - V'(, )
et
AV - o.
La premiere condition donne, par derivations successives, (n 4- i) equations contenant lineairement les derivees de V jusqu'a l'ordre n inclusivement; la deuxieme donne n equations analogues; la troisieme, (; —); en
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tout, 2(n -)(- 2) equations lineaires, c'est-a-dire autant que de derivees
d'ordre n et d'ordre inferieur. On peut done calculer les valeurs au point
(x0, y0, z0) de ces derivees; si la serie de Taylor formee a l'aide de ces valeurs