Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SURI LES LIGINES SINGULIE'RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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inent en consequence sur AB des valeurs vi"( 1), c" ( 1), c' et c"e' tant des fonctions
analytiques dc 1. Mais existe-t —il toujours une fonction V (x, y) tel/c que V
pr-enne sur AB des va/eurs c, (1), do des va/ears C&(/), c, (e) ci( (1) d'tani
fonCtions anialyliqacs de 1?. On voit sans peine qn'il en existe une et ufle
scule: soit (x, y) un poin[ de AB, x -p(1), y - ~(/); si v' existe, la fonction 2- - 1 - esL une fonction antalytique de -z de'finie de part et d'autre de
ax a1
AB, et l'on a sur AB
axT aV dt_ _ __ _ _
Or il existe une fonction f(z) d~finie de part et d'autre de AB, et prenaniC
sur AB les valeurs v'(/) -i- iv"'(/), fonction analytique de /. Si l'on pose
fC!, —F(z), la partiere'elle de F(z —), P(x~y), pour unevaleuii conI-Z
venable de la constante d'inte'graLion, satisfait aux conditions e'nonce'es.
D'apre's les premiers the'ore'mes, il esL clair qu'il n'en saurait exis~er
d'autres.
Plus ge'neralemenL, on de'montre de merne qu'il existe une fonction
Y (x, y) prenanL sur AB les valeurs v, (/), et telle que o.,(/) d7 -+- dV
prenne sur NB les valeurs c'(/) ci/,p(l), c, (/), c' (/) e'ant des fonetions analytiques de /.
De ces the'orenmes, on de'dni an sujet des coupnres des fonc [ions YVx, y)
des rem arques identiques at celles qn'on a faites sur les coupures des fone[ions de z.
Les conditions ne'cessaires pour qu'nne fonction v(x, y) soit continuable
an dela' d'une coupure analytique peuvent s'e'tendre aux fonctions V~x,y, z
de trois variables. Mais il n'en est pas de Meme des conditions suffisantes.
Soit S une surface analytique, coupure d'une fonction Y (x, y, z).- Nous
appelons fonction analytiquc de deux on trois variables une fonction qtui
pour -[out point (x0, yo,, z0,) (sauf pour des points exceptionnels) est d6veloppable en se'rie de Taylor, cette se'rie convergeant' taut que Ix - x0
I y -.yo Iz -Z, I restent inf~rieurs 'a certaines valeurs, pour des valeuirs
r~elles on imaginaires de x, y, z
Les fonctions V(x,y, z) sont des fonctions analyticlues. Une surface