Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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valeurs f( 1), ainsi que cela sera demontre dans la suite (ceci supdl
pose toutefois d-c continue sur AB.
13. Dans l'6tude qui prccede, nous avons admis que la coupure AB n'dtait pas limite d'autres lignes singulieres. Au cas contraire, quand un point
z tend vers un point ' de AB, il rencontre une infinit6 de coupures AnB,, dc
F(z). Si ces coupures sont essentielles, AB est necessairement couputre essentielle de F(z). Sinon, il convient de distinguer les deux cas suivants:
lorsqu'il existe un espace S attenant 'a AB ou la fonction F(z) est continuable au dela de chaque coupure A, B,, par une fonction F, (_) qui existe
au dela de AB, on peut dire que F cst coalinuable au dela de AB; si cettl
condition n'est pas remplie, F(z) n'est pas continuable. Par exemple, soit
f(z) une fonction uniforme ddfinie de part ct d'autre de Ox, admcetant les
poiLnts O et A de l'axe des x comme points essentiels et les points - et
a - - comme zeros simples. La fonction uniforme iF( ) \f(z), qui pr6 -scnte comme coupures les droites A,,B,joignant It a a + a- est continuable
au dela de ces coupures et de OA. ConsidIrons, au contraire, une suite d(
fonctionsf,, f.,...,f(Z),... f, (z) designant une fonction dont Ox est
coupure essentielle. La fonction 1F(z) egale a/f,(z) entre les droitesy -
Y- =,, oest continuable au dela de ces droites, Imais presente Ox comme
coupure essentielle. Dans ce cas, il arrive parfois que F(z) tend vers des
valeurs F, (x), fonction analytique de x, quand z tend vers Ox; ainsi, appelons?(z) une fonction continue sur Ox, mais dont Ox est coupure essentielle; on peut fairef, () = (z),...,f,() (z ),., et F(z) tend
vers o, quand z tend vers Ox.
14. Les theoremes precedents ont leurs analogues dans l'etude des fonctions V de deux variables qui satisfont ia l'equation AV = o.
Quand deux fonctions uniformes V(x,y), V, (x, y), definies du inime
dV
c6to d'unn coupure AB, coincident le long de cette ligne ainsi que t et