Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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2 ~~~~~~~~P. PAINLEVE.

coincide avec la premie're dans le voisinage de L et la prolon7ge au deia' sans
discontinuite'. La coupure est alors art iftCielle, elle est essenltielle aui cas
conlraire:le cercle de convergence de la se'rie de Maclaurin F (z), qui
de'veloppe la fonction - est une coupure artificielle de F~z); la se'rie
F(z) qui represente dans le cercie fondamental C line fonction fuebsienne,
holomorphe et de'finie seulement dans ce cercie, admet an contraire C
comme coupure essentielle. Nous donnons d'abord line forme de la condition ne'cessaire et suffisante pour qu'une coupure soil artificielle, qui s'applique 'a une couipure quelconque. De cette condition, on de'duit plusicurs
the'oremes, concernani les fonctions de'finies par une relati~on implicite on
par une equation diff6rentielle du premier ordre:ces derniers sont utiles
dans l'6ude des inte'grales uniformes d'nne equation ditl'6rentielle, ainsi que
je le montre dans plusienrs applications, et notamment. en recherchant
touales les equations de la formIe f~z, i-)[ottf (z, u) estuiiw e]
clout l'i71t'6 oal fee7-a le peut dti-e u tio7-ne
Dans le cas oft la -cotipure est une ligne analytique, la condition pre6 -c'dente prend line forine plus simple, indiqu'e d's lFann'e i8-70 par
M. -Schiwarz ('), et qui permeL de discuter ptusieurs classes de coupures.
Des exemples des principales singularite's d'nne fonction dans le voisinage
d'une coupure essentielle terininent cette premiere Partie.
Dans la seconde, nous e'Lendons aux fonctions uniformes les plus ge'ne'
rales les formes de decomposiuion en sommes et en produits, donne'es dans
la the'orie des fonctions 'a points singuliers. En 88 i, avant le the'ore'me de
M. Mittagr-Leffler, M. Picard indiquait, dans le cas d'une coupure circnlaire, tine forme de de'veloppement en produit, applicable A une conpure
quelconque, et, pen de temps apr's, de'composaiL une fonction F(z), ayant
pour coupures des segments de droites, en une somme de /i fonctions
n' ayant qn'une coupure, puis de'veloppait ces fonctions en series (2.Apre's
la de'couverte du the'ore'ine de M. Mittag-L effler, M. Goursat () a e'tendu ce
Lhe'ore'me aux fonctions uniformes pre'sentant des singularite's quelconques.
Enfin, ML Mittag-Leffler (') a consacr6' lui-me'me un Me'moire 'a e'~tude de
(1) Aionatsbericlhte der icademtie zu Berlin, octobr'e 1870.
(2) Comptes rendus des stances de l',lcadrntie des Sciences, 21 mars i88i, 2,2 mai 1882.
(3)1Id., 26 f~vrier i883.
(4) Acta 7nathernatica, t. IV; i884.