Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

valeurs non analytiquc (le contour s 6tant analytique), correspond une
fonction de z, V - i'U, qui presentc s comme coupurc essentielle.
On peut encore considerer l'int6gralc F(z) = ( )d; prisc lc long
d'un chemin analytique AB, la fonction f/() f,(l) n'admettant pas de
derivee ni"me (ou ctant discontinue, mais susceptible d'integration). La fonction F(z) n'est surement pas continuable des deux c6tes de la coupurc.
Soit J, (z) et J2 (z) les valeurs de F(z) de part ct d'autre de AB, soit de
plus f, () = P(l) + i Q(1). Quand une seule des fonctions P(l), Q (1) cst
analytique, AB est coupure essentielle de J, et de J,; car, si J, (z) est continuable, la fonction J, J,, definie d'un certain cot6 de AB, prcnd sur A13
des valeurs dont la partie reelle (ou imaginaire) est fonction analytique de
1, et n'est pas continuable au dela de AB, cc que nous avons demontre etrc
impossible. Ces remarques s'6tendent sans peine t l'integrale GF(t' d.
Au contraire, lorsque la ligne AB n'est pas analytique, la fonction f()
qui prend sur AB la suite des valeurs f, (l) = P(1) + i Q (), fonction analytique de 1, n'est pas continuable. Plus generalement, quand les deriv6es
Cdy dl.y i
d'' c-7-x2 '' n existent que jusqua' l'ordre z pour la courbe AB, les derivees def, (1), sif(z) est continuable, doivent exister jusqu'a l'ordre I/ et
seulement jusqu'a l'ordre n. I1 suffit, pour le voir, de remlarquer quc les
points z de la courbe AB verifient l'equationf(z) =f (1), ou0 /() est analytique dans le voisinage de AB. I1 faut meme que la partie reclle P(l) [ou
imaginaire Q(l)] de f,(1) satisfasse a cette condition. Claque fois qu'ellc
n'cst pas remplie, la coupure AB est cssentielle. On voit ainsi que l'integrale J(z) = f. ();a ou la fonction de 1, f()=f, (1), est analytiquc,
AB
le chemin AB ne l'etant pas, presente AB comme coupure essentielle. De
rneme, les fonctions F(;) = V 4- iU dont la partie reelle prend sur AB la
suite analytique de valeurs V, (1), ne sont pas continuables au dela de AB.
Enfin, lorsque la fonction (, = () represente d'une maniere conforme un
espace S sur un espace S,, et que la derivee d- n'existe pas pour 'arc L
de s, -dx existant pour l'are L, de s,, L est coupure essentielle de (z).
Ajoutons, pour terminer, que, si une fonction f(z) prend sur AB des
valeursf (1) dont la derivee -fl() est continue, f'() prend sur AB les