Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGUJLIE'RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 73
On pent e'galement former des fonctions qui tendent vers des valeurs
f(l) discontinues quand Z. tend vers AB snr certaines direction-s, par
exemple sur la normale 'a AB. Soitf(O) nne fonction de la variable re'elle 0,
discontinue dans tout intervalle, mais h variation limite'e, et telle qjue la
suie e aleurs 0) 0 -) soit discontinue. Si l'on cherche -i dave
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lopper cette fonction en se'rie de Fonrier, on obtient nne se'rie trigononehtrique I(A,2cosn0 +~ B11sin7n0), qni,- pour tonic valeur de 0 entre o et 27,
est 6ogale fi (O -i 0) 72f<O — La s6rie 1'1d( A, B,,iOzz1 est une fonction F
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de z, dont la partie re'elle, qnand z tend vers nn point dn cercle C de
rayon i et de centre 0, sur la normale 'a cc cercie, tend vers la -valeur
f(O +I o) ~J-f(O - o),fonction discontinue de 0. Quand z tend vers nn point
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de la circonfe'rence C snr certains chemins, F(z) est inde'termine'e.
Qunand une fonction F(Z) prend snr tine conpure AB une snite continue
de valeurs F1 ( 1), la conpnre est essentielle an cas oi', AB 6'tant une ligne
analytique, F, (1) n'admet pas de de'rive'e d'ordre n.- Par exemple, les
se3ries
(clans lesquelles a,, de'signe 7n", on I. 2......) repre'sen tent des fonctions
holomorphes de z dans le cercie C de rayon i, qui prennent snr la circonf&'
rence de C nne snite continue de valeurs F, (0), mais qin ne sont pas conthnuables an, delai de C; car les series
Cos a,, sina,_
a ~~~~a,
sont des fonctions continues de 0, n Iadmettant pas de de'ri-v6e, comme IPa
de'n-iontre' MI. Darboux ()
Les fonctions qui repr~sentent nn espace a contonr aualytiqne snr nn espace dont le contonr est tel qne d~l rn'exi ste pas, founrissent nn antre
dx",
exemple de cette singularite' De me'me Ch toute fonction Y(x,y), satisfaisant 'a 1'6quation AV o, qn ped stir un contour ferm' n suite de

(I) AY~cmoires sur lesfonctions discontinues (A4nna/es cdc 1'Ecole Norm ale supe'rie t7re,
ann~e 1875i).
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