Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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I
P. PAINLEVE.

Voici un exemple curieux de ce fait: consid.6rons la fonction
za (z- a)2 t
On pent toujours prendre nz assez grand pour qu'ah 1'exte'rieur d'un cercie
ayant a pour centre et p pour rayon le module du reste RI, de la se'rie soit
inf~rieur 'a E. Formons une suite de fonctions 1h, (z),..., h~,jz),..., les
p(?ints a,, qui correspondent 'a ces fonctions e'tant tous distincts et distribue's
sur la ligne AB oiiiius forment une suite line'aire (ces points sont, par exemple,
determine's par la loi suivante: a1 est le milieu de AB, a2 et a3 les milieux
de Aa, et de a, B, et ainsi de suite). De'signons par p, la distance minima
de deux points quelconques pris parmi les v premiers a,, a2,I..., a.. Pour
chaque valeur de v, on pent prendre n assez grand pour que
ait un module plus petit que E pour tons les points M on z exte'rieurs a un
cercle CIV ayant a,, pour centre et de rayon Op., (0 est un nombre determine'
plus petit que i). Posons
Vw
Y(Z) -- RM(Z)()
'V=I
Cette se'rie est uniforme'ment convergente dans l'espace exte'rieur 'a tons les
cercles C,, si la s 'rie I convere
Faisons tendre M vers un des points a. (soit a,,) de manRe're qu'Iil reste
ext~~~~rieur aux cercies C ~~~~~~~~~~~~~~, ~~.. (cc qui est touj ours possible:si 0- -
il suffit que M soit compris dans l'angle droit de sommet a, et dont la bissectrice est normale 'a AB). Dans ces conditions,?(z) - R(PW(z) tend vers
une valeur determin~e, car on pent touj ours prendre q assez grand pour que
R Rv) (z)
soit inf~rieur 'a g et, d'autLre part,
v — q -Q)z
est holomorphe an point a. La fonction? (z) est donc in~ddicrinin~e
conu~ne R(VW(z) danIs le voisinage de a.