Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEYE.

longement naturel de?(Z); car les syinbolos anialytiques peuvent associer
deux fonctions quelconques, et, d'autre part, on no saurait trouver une fonction t),telle que ~ (z, ) (z,) tonde vers 0 quand z, et z2 tendont vers
un point de s do part et d'autre de cette ligne; autrement,? (Z ) serait continuablo.
Quan'd? (z) est continuable au delh do S, la coIupure s peut e~tro purc-e
Inent arifeiciele; il arrive, par exemple, quo la fonction prolonogee est holomorphe dans lo plan.
Au contrairo, soiL AB uno coupure ouwcric do f(z); do part ot d 'au re
do AB, f(z) prouid dos valours diff~rontos f, (z'), f2(z"); il ost clair quo los
doux fonctions no pouivont etre associe'es arbitrairornent. Do plus, sif, ('
de'finio du c6te6 C do AB ost continuable an dola' do AB par uno fonction?~(z), los points A ot B sont ne'cessairoenent dos points singulier-s (critiques on extre'mite' do conpures) do? (z); autromont, z tournant autouir du
point A, apre's avoir franchi la coupuro AB do C en C', la fonctioni?(z4)
prondrait, pour dos -points z voisins do AB et situe's du co'tLe C do cotto ligno,
los valours fA (z'), do me'mo quo la fonction f.2(z);? (z) coincidorait done
avoc J2(z) pour los points z"l voisins do AB et situe's du cote ' Gdo AB, 00
qui est impossible, f, (1z ) no prolongeant pas f, (z).
Dans lo cas d'une coupure ouverto AB, pout-il arriver quo la fonclionl
f(z') soil conlinuable au del4 de A.B sans que f2(1z~") ie soilt aussi? Ii est
facile do former des exemples do ce fait; conside'rons un cerole C do centre
O et do rayon R; formons une fonction?(z) ayant comme coupuro essontiollo la demi-eirconfe'rence sitne'e an-dessu~s do Ox et holomorphe da-ns lo
reste du plan. PoosZ=Z — ~ _C le signo du radical e'tant choisi do
maniere quo, z IsoitL infe'rieur 'a R. La fonction? (z) -t~(z, ) estL une fonction uniformo do z1, admettant le segment AB do 0Ox, comme coupuro;
quand ztend vors AB du co'te' des yi positifs, Z. tend vors un point do la
demi-circonfe'rence inf~rieure do C; t(Z,) est par suite con tinuabie au delh
do AB quand z, passe du demi-plan supe'riour au demi-plan inf~riour; on
voit do me'me quo t(z,) n'est pas continuable quand z, tend vers AB du
c~~desy ne'gatifs.
On petit prendre encore une fonction f(z) d~efinie dans un espace S ot qui
n est pas continuable an dela' do cot espace. Si AB est une portion do s, sur
laquellef(z) soit continue, on considere?(x) Jf (j) dz;? (x) nlest
pas continnable an. deLa' do AB quand x passe do S en 5' (5' d'signant lFes