Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIE~RES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 6

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Arrivons au cas plus g~ne'ral
ft~F (tz)dt
Toutes les lignes AB, de'rites par les points z qui -verifient 1le'quation
6 (0, z) o, quand on donne 'i 0 des valeurs r'elles comprises entre t~ et
t,, sont des coupures de J(z). Soit ~ u'n de, ces points, g(O), et soit
P(t, z) ~ ' G(i, z); quand les points z' et z"', situe's suir la normale en '
AB de part et d'autre de ~, tendent vers ce point, la diff~rence J, (z') - J2 ( z)
tend -vers - 0?(0), et cela uniforme'ment le long de AB, si?(0)est
continue. Lorsque J, et J2 sout continuables, co(0 ) represente les valeurs sur
AB d'nne fonction analytique. Si AB est analytique, g(O) peut e'tre
fonction analytique de 0; dans ce cas, cD(O) doit etre aussi fonction analytique de 0; sinon, ~ est fonction analytique de 1, 0 =lt(l1), et dh (/)-I
doit ktre fonction analytique de 1.
On -voit que, si F et G sont fonctions analytiques de t, les conditions'
sont satisfaites; les deux fonctions J, et J., sont continuables a-L dela' de AB.
Quand G-(t, z) est fonction analytique de 1, sans que F le soit, une au
momns des deux fonctions n'est pas continuable.
La n nme discussion s'applique aux coupures des integrales doubles mndiquees par M.Laguterre.
12. Nous donnerons, pour terminer cette 6Lude, queiques exemples des
principales singularite's qu'nne fonclion peut presenter dans le dornaine
d.'une coupure.
Ii con-vient d'abord de distinguer les c oupures ferr7neds des coupuires
ouvecrtcs. Quand une coupure est ferrnd'e et enclo't l'espace S, il n'y a aucim
rapport entre les deux fonctions f(lz) et f (z) repre'sent Lees par les symbotes
a 1'ext6rieur ou 'a l'inte'rieur de S. Ii est, facile de former, ~I a'aide d'integrales ou de series, une fonction.F~z) e6gale a'J(z) 'a 1'ext6rieur de S, et
presentant S comme espace lacunaire, ou e'gal dans S 'a une fonction quelconque y(z). Les deux fonctions / et?D peuvent admettre toutes deux le
contour s de S comme coupure essentielle, ou comme coupure artificielle;
on bien, l'une est continuable au clela' d'un segment s sans que lFautre le
soit. Dans le cas ohm s est coupure essentielle de?(z), par exemple, il
-n existe, a aucun titre, une fonction qui puisse etre regarde'e comrne le pro