Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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I
P. PAINLEVE.

La condition est ne'cessaire: si f etf, sont con tinuablos, J - /, est une
fonction analytique de z qui existe do part et d'auLtre de L et dont la valour
sur Lost?(l).
La condition est suffisante; car, si la fonction?(z) existo, la son-tiine
/, (z) +i cp(z) prolongef(z) au delah de L.
Pour que le'nonc6 soit -verifi, ii faut et il suffit (d'apre's une rem arque du
lenmme II du Chapitre II) que, f(z') -f, (z") lende unifor-mednenl ve7rS
(1j), quand z' et z"" tendent vers un point ~ do L, de part et d'autre de L,
sur un cortain chomnin variant avec ~ d'uno manie're continuo. Par exemple,
on pout trouver un non-ibro E tel, qu'on portant sur la normalo 'a L en chaquie
point '~ los longuours ~Z' ~Z"' E, do part et d'autre doe~ on ait
(e' tant un nombro positif aussi petit qu'on vent).
Quand la ligno L ost analytiquo, il faut ot il suffit, pour quo foetf soieut
continuablos, quo?() soit uno fouction analytiquo do 1.
Appliquons cotto romarquo aux integrales dont nous venous do parlor, et
tout d'abord 'a l'inte'grale
JZo f'f) d~
cotto integrale 6'tant prise lo long d'un certain chomin AB [~g(l), si I
de'signe farc do AB comipris entro ~0 et ~]; l~a fonctionf(~) ost de'finie on
chaque point do AB, f(~) — f (1). Do part et d'autro do AB, J(z/-) prond
des valeurs diff6rentes J, (z), J, (z):quand los points zt ot zI situe's sur la normale en ~ ' AB do part et d'autre do ~ tendont vors cc pointL, J, (z') - J.(,"
tend verS 2i1-f(~). Sif(~) est discontinue, J, et J, noepouvent etr toutos
deux contiunables an dela' do AB; si f(~) ost continue, on yoit sans poine
quo la diff6rouco J, (z') -- J, (z"') tend verS 2 i~J(~) uniformernent lo long
do AB, sur la 'normiale 'a AB. La condition ne'cessaire ot suffisanto pour quo
J, et J, soiont continuables- est douc quo fQ~) represente los valeurs sur A13
d'une fonction analytique. Quand AB est une ligne analytique, il fant ot il
suffit quo f, (l) soit fonction analytique de 1. Si, par exemple, /, (1)
u Iadmet pas do de'rive'e d'ordre n, los deux -fonctious J, et J, no sout pas
coutinuables an dela' do AB. On rame'e 'a la precedento l'inte'grale
f z-gt)' en posant =g(t);fQ F)