Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

assez petit pour que piP (t, t')I, P2 (t~, -t') I soieni inf~riours 'i tout nomnbro
donne' E~ quand le point t de'rit A1 B1. Ilen re'sulte quo los deux fonctions
11 (c), f2(T)se raccordent le long du segment A1B1, et quo f.2v prlog
Passons au cas oil P (x, y) prend sur AB les valours P1 (t), P, (t) 6 Lani -
one fonction analytique do t.
Soit encore z - G(v). Inversement, 17 G1 z) La fonction
P1Q(7) P T(Z)
est uno fonction analytique do z, d~finio do part e1 d'autro do AD, oi. donL. la
vale ur lo long do AB ost e'gale 'a P (t); la fonction f(z) - CJR(z), donii la
partie r~elle s'annulo sur AD, ost continuablo au delai do AB; il on ost do
Meme en consequonce dof(z), sommo do doux fonctions continuablos. La
proposition ost donc de'montre'e.
Ces deux the'ore'mes pormoettont do discutor plusiours classos do coupuros.
10. En premier lieu, conside'rons los fonctions
Z1E o(z),
qui repre'sentent d'une rnanie~te conformIe un ospac S sur lo domi-plan dos
z, situe' au-dessus do lFaxo des x,. La condition n'cessaire e1 suffisante pour
quo? (z) soit continuablo au dola' du contour s do S1 ost quo ce contour solt
formde de lignes analytiques.
La condition ost ne'cessaire; car, si? (z) est continu ablo au dola' d'-un sogmont AD do s, invorsoment z - p~(z,) est continuablo an dola' do Ox1; los
points z do AD ve'rifiont done, le'quation z -cp1 (x1 ), oi'i x ost reol1 ot oii t
ost une fonction analytiquo do x,; AD est par suito uno ligno analytiquc.
La condition est suffisante; car, AD e'tant uno courbo analytiquo, commo
la partio re'ollo do?(z) s'annule sur AD,?(z) ost continuablo an dola'
do AD.
Quand une partie soulomont s' de s est uno ligne analvtiquo,?(z) ost
continuablo an dola' do s' ot admot lo resto do s coimoe coupure. ossontiolle.
Si tout le contour s osL. analytiquo, il convionL do distinguor plusiours
cas
Io Pour tout point (x0,,y0) do s, x ot y souL de'voloppablos on se'rio do