Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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64 ~~~~~~~P. PAINLEVE.

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dzpar - u" --- pour ramener I' quation h la forme u" -G, (u', zU). On
retornbe sur la question precedente.
Les the'ore'mes sur lesquels nous nous sommes appuye's out encore de
nombreuses applications. Mais j'abandonne ce suj'et pour le moment, etj'ar -
rive 'a le'tude des conditions qui expriment qu'une fonction est continuabic
an dela' d'une ligne analytique.
9. Conzditions pou7 qU'unze fonction soil continuable aqt dela& d'une
lignle analytique. - Nous avons de'montre' que la condition n~cessaire et
suffisante pour qu'une fonction uniforme F(z) soit continuable au de1lt
Id'une coupure L est qu'il existe une fonctionf(z) de'finie de l'autre cote de
L et prenant sur L les me'mes valeurs que F(z). Quand la ligne L est ana6 -lyhique, la condition prend une forme plus simple.
On sait qu'une ligne analylique est une ligne telle que ses deux. coordonne'es x ety soient fonctions analytiques d'un parame'tre 1; autrement dit,
pour tout point (x0,y0,) de la co'urbe (sauf pour certains points formant une
suite ponctuelle), x et y se mettent sous la forme
x - Xo-zal a(t - to) -H 9t - t0)-v
y -yo — b,(t -to) +b2(t -to) 2 H.
les deux series convergent pour des valeurs de (I - to) suffisamment petites.
Remplaqons t par 7 1 + t'i (les deux series convergent encore), et posons
zx- iyc~ —t'i) +i i ~(t -i-t' i)-G,)
Z.est une fonction analy-tique de T, et re'ciproquement la valeur de 7 e'gale 'a t
pour z z0 est fonction analytique de z; T G, (z). A un segment AB dc
L correspond un segment de l'axe Ot, h des points z voisins de zo et situ6s
de part et d'autre de L correspondent des points r voisins de to, de part ei
dWan Ire de 01t, et inversement.
Soit f(z) une fonction uniforme de'finie du cote C de L et qui admet co lic
ligne pour coupure. Si f(z) est continuable au dela' de L, il existe une fonction F(z) coincidant avecf(z) du cotW C de L, et holomorphe dans le voisinage d'nn segment AB de L. Si Fon pose

f [ G (-6)] -- f, (,7), F [ G (,r) ] F 1 (,7,),