Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

62 P. PAINLEVE.
du genre i. Dans cette hypothese, l'equation se reduit h
t'- M(t, z),
et M doit etre un polyno7me du second degre en t. On se trouve ramene i(
l'equation de Riccati dont la discussion a ete faite prec6demment. Si l'intgrale de cette equation est uniforme, on peut l'ecrire,,. 4- h tM, - h
t - - ou bien - ---
i -+i h1 tg 1 -
g, g,, h/ etant uniformes. Quand la courbe F o est du genre o,
u = [t(z()] est toujours uniforme avec t(z); il en est de nieme chaquc fois
quce (t) ne depend pas de /R(t). Au cas contraire, u n'est jamais uniforme; il faudrait pour cela que VR[I(z)] fit rationnel en z, et, par suite,
que chacune des equations 0 = neu pour toute valeur de v quc
des racines de multiplicite paire [0 designe une des quatre racines to, 1, t2,
t3 de R(t)]. Ceci exige que les racines de l'equation - = - hsoient
multiples pour toute valeur de v, et, cornmme on n'a pas identiqucment
h A OhI - h
8 = h- 0, la condition ne peut etre verifiec quc si la dcrivee dc - --
est nulle identiquement, c'est-a-dire si cette fonction est une constante
- v0. Pour v = ~0, l(z) 0= Ouht est constamment egale i 0, et pour
toute autre valeur de v, t(z) ne prend pas la valeur 0. Mais ceci ne peut
avoir lieu pour les quatre valeurs de 0, autrement des fonctions uniformes
-'g-+-th (sans coupures) ne prendaient dans le plan aucune des quatre valeurs to, t,, t2, t,, ce qui est en contradiction avec le theoreime de M. Picard
sur les zeros des fonctions uniformes. On voit donc que si N est identiqucment nul, il faut et il suffit, pour que u(z) soit uniforme, que la fonction
t(z) soit elle-meme uniforme et que u = ((t) ne rcnferen pas \/R(t).
Traitons maintenant le cas ouf N n'est pas identiquement nul; F = o est
alors du genre i. La fonction t verifie l'equation
~~~c-(4) M(t,) -- )N(t, )/Il(t).
D'apres la remarque faite au debut du paragraphe, quand l'intgrale t est
uniforme, M et N sont des fonctions algebriques de t. Si l'on observe que t