Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

est uniforme, U, U,,..., U_, sont des fonctions uniformes de z sans coupures. Les relations qui lient Ui a u et celles qui lient Ui a Uj sont, en
consequence, de genre o et I. Ceci suppose toutefois que pour u =?(z),
u'-?'(z), les equations (2) et (3) n'admettent pas plusieurs solutions
communes quel que soit z.
Le theoreme s'applique aussi bien si, dans l'quation
G ( u', u, z, U..., U,_-1 ),
U,,.., U,_, sont fonctions algebriques, non plus de u, mais de u'; car
si u(z) est uniforme et sans coupure, il en est de meme de u'(z). Quand G
est un polynome en u, U, U,..., U_, et une fonction uniforme de u' et de
z [U, U,, UU__ verifiant les relations Fi(u', Ui) o], on elimine u entre
dG dUi
G =o et = o, en remplaCant dans cette derniere equation d-U par
-d-i -a ". On obtient ainsi une equation
C)Ui
G1 (ut, u', z, U, U1,..., Ur,L-) - o;
si une integrale u(z) est uniforme, u'(z) est uniforme, et le theoreme
enonce s'applique a l'equation G - o: les relations Fi- o sont done du
genre o ou i.
Enfin, si U, U,,..., U,,_ sont fonctions algebriques de z, l'equation
n'admet d'integrale uniforme u = (z) qu'au cas ou U, U,..., U_, sont
rationnels en z, a moins que, pour u =?(z), u'=?'(z), les equations
Fi(z, Ui) = o, G - o n'aient plusieurs solutions communes.
Sous sa forme la plus generale, le theoreme peut s'enoncer ainsi. Soit
(3) G(u', u, z, U,..., U,.-1, V,...., V-, W,..., Wq_ )-=
une equation differentielle oui G est un polynome en u' (ou en u), et en Vi,
Vy, YWA: Ui, Vj, W. sont respectivement des fonctions algehriques de u,
de u' ci de z, definies par les relations
i (,U,..., U, n-) -=, (UI, V,..., Vp-i) =, ZX (z, T,..., Wq-1) =o,
(4 )..............................................................
l 9>,(U U, ) U...,U-) =-o, C (t ', V,...,Vp —l)=o, q(Z,W...,Wq —l) _o.
Quand une integrale u = c(z) de cette equation est unifotrme, les W\
sont des fonctions un7formes de z, et les relations qui lient Ui a Uj ou a