Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIOUES.

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Envisageons maintenant une equation G(u', u, z, U) = o oui G est un polynome en u' et en U dont les coefficients sont uniformes en u ct z: on pent
toujours supposer que U n'entre dans G qu'au degre (n - i), n etant le
degre de F en U. L'equation s'obtient sous la forme ordinaire en 6liminant
U entre les relations G = o, F - o. Pour tout systemle u', u0, Z0 verifiant la
condition = o, les 6quations G =- o, F - o ont une racine commune, ct
en general une seule, qu'on obtient en fonction uniforme de u,, u0, o,,
A(il, lo, z0) U +- B (i', 1, o 0 ) = o.
Le raisonnement fait plus haut s'applique encore ici, a moins que, pour
Iu =?(), l' = '(z), A et B ne soient nuls icentiquement. On pcut done
enoncer ce theoreme: Si l'equation proposee admet une inltegrale parliculiere uniforme u = 9(z), la relation F o est du genre o ou I, (t
moins que, pour tu = (z), ui' - 9'(z), les deux equations en U, F o,
G- o, n'aient plusieurs racines communes, quel que soit z. Si l'on exprimc
que F = o et G = o ont deux racines U communes, on obtient d'ordinaire
deux relations distinctes en ut', u, z et, en eliminant u' entre ccs deux relations, une certaine relation (z, it) = o entre z et u. On peut toujours verifier si cette relation ddfinit une fonction uniforme satisfaisant h l'equation
diff6rentielle. Quand +(z, t) = o se reduit a une identite, quels que soient
z et u, pour une valeur de u' verifiant la conditionf= o, les deux 6quations
(- = o, F - o ont plusieurs racines communes. Nous ecartons ici cc cas
particulier qui demande une discussion speciale. Dans tout autre cas, l'iltegrale generale de l'dquation ne peut etre uniforme si F o est de getnec
superieur a i.
Considerons de meme l'equation
(2) G (t', i,, U, U,,..., U,_,
ou G est un polynome en u', U, U..., U, et, U, U,,..., U_, des fonctions algebriques de u definies par les relations
(3) F(it, U) o, F(t, U,) = o,..., F_1(, U,_) 0o.
L'equation diff6rentielle s'obtient sous la forme f(u', u, z) - o en eliminant
U,..., U,_, entre les relations (2) et (3). Pour tout s-ystlme u0, U,, verifiant la condition f o, les equations simultanees (2) et (3) n'ont en general qu'un systeme de solutions U, U,,..., U,_,, qui s'exprinent lineairement en fonction de u, Uo, z0. On cn conclut que si l'integrale u = (z)