Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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Quand les deux conditions preeedentes sont remplies, l'equation (7) se
ramine a la forme (8) par la transformation u - u, —+ tz". Pour z o,
aucune integrale t(z) de l'equation (8) ne peut etre indeterminee; si
une integrale t(z) tend vers to, elle est holomorphe pour z - o, ainsi que
la fonction u correspondante; si I(z) tend vers l'infini quand z s'annule, on
pose t -- et l'on voit que l'equation en 0 admet une integrale et une seule
s'annulant avec: cette integrale correspond a la fonction u, qui prend la
valeur - uO pour z o. Les conditions enoncees sont done necessaiies et
suffisantes pour que z = o soit un point ordinaire de u(z).
Le raisonnement suppose Co diff6rent de o; mais, si Co - o, l'quation (7)
est de la formet_ 3 f ('-l-t --.. Le coefficient de u etant nul dans le
dz z
second membre, l'equation ne peut admettre qu'une integrale holomorple
ou algebrique au point z = o. Ceci revient a dire que tout pole simple de
a(z) est pole simple de c(z), et reciproquement.
II importe de remarquer que les deux conditions trouvees peuvent se verifler par des operations purement algebriques, alors meme qu'on ne connalt pas les racines de P(z) - o. Soient = o l'equation qui donne les racines
simples de f(z), ZO une de ces racines; on doit avoir d'abord 4CoAo - -2
(n Ctant un nombre entier); A(z) designe (z -- Zo) x a(z) oun
ct C(z) designe ( ) - /(Z); par suite,
_A o(ZO) Co (Z))
Ao (o)' o — (~o)
Posons
~(o~) -^~ 4a(z)y(z)7
(9) _ 2
La transformee en [ de l'quation, = o doit n'avoir conmme racines que
des nombres entiers carres parfaits, ce qu'on reconnalt par des operations lineaires qui donnent ces racines. Soit n2 l'une d'elles. Pour = 72, les polyn6mes, (z) et n22 2(z)+ 4 (Z)Ty(z) ont un plus grand commun diviseur dont les racines doivent verifier la condition
Dn [ u(zo)A (zo) + C(zo)] o.

Les valeurs pour z = Z0 des derivees successives de A ct de C s'expriment