Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SULR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 5

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exige que c(z) contienne le facteur z au moins 'a la puissance (in. - 2).
Ainsi tout pOle d'ordre in de a(z) est zero au moins d'ordre (M - 2) de
c~z). i 1'o poseC~z) I' uation precedence devient
dz -
De me'me, tout po'le d'ordre rn' de c(z) est po'le d'ordre (in'- i) au moins
de toute integrate et zero d'ordre( (in' - 2) de a(z).
Cette remarque faite, conside'rons d'abord un po'le simple z0 de A(z): z
ne saurait e'tre un po'le de c~z) d'ordre plus grand que i, sinonl, d'apre's cc
qui precede, a(z0,) serait fini. Posons encore, en fa~isant z -o,
A et C sont holomorphes pour z - o, et A ne s' annule pas avec z. L'e'quation peut s'e6crire
dz,.
Si, quand z teud vers z~ro, u tend vers une valeur u0,, le syste'me z o
u = U0, annule ne'eessairemen-L le nume'rateur du second membre u ne
pent e'tre iufiuie, car, dans Fe'quatiou transforme'e en - v, le coefficieni
diff~rentiel est infini pour z — o, v = o, puisque A0 n'est pas nut). Toutes
les integrales doivent donc tendre vers une des valeurs ~ cVA quand.z
tend vcrs o et e'tre holomorphes dans le voisinage de cc point. De'Signons
par -i 0- + -O celle des deux valeurs du radical donLeprdipa
AO a sa partie re'elle positive. Si u tend vers - a0,I on pose
AOQ
la fonction V s'annule pour z o et ve'rifle l'quation
~~2AoltoQ~j A )O