Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUI LES LIGNES SINGULIIRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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contlnue, quel que soit u, F(, ~) est pour tout syst6me z et v determinee
oil infinie. Si, pour une valeur z,, F(z,, v) est infinie en des points v formant une coupure, F est infinie dans tout le plan v; ceci ne peut avoir lieu
que pour les points Z, d'une suite ponctuelle, sinon F(z, vo) serait infinie en
tous les points Z, d'une suite lineaire, par suite dans tout le plan Z, quel que
fut v0. En consequence, la fonction u(z, v) pour toute valeur de z (saul
pour les points d'une suite ponctuelle) est definie dans le plan des v et n'y
prdesente que des poles.
Le raisonnement precedent demontre en toute rigueur que la fonctionl
F(z, c), ou l'on donne ha une valeur quelconque diff6rant des valeurs
a, (z0),..., a,n(Z),..., verifie l'equation difflrentielle (i). A deux valeurs
de v correspondent deux integrales distinctes, puisqu'elles sont uniformes
ct prennent au point z0 deux valeurs v differentes. On salt d'ailleurs qu'en
un point Z du plan z il n'existe qu'une integrale u(z) prenant la valeur U,
sif(Z, U) est holomorphe. Posons done
U- F(Z, v),
U etant une valeur quelconque, distincte des valeurs
F[Z, a, (zo)],.. F[Z, a,, (zo)],...
et telle que F(Z, U) soit holomorphe. Cette equation en v ne peut avoir
plus d'une racine, car si elle en avait deux, ov et v,, les deux integrales
F(z, c0), F(z,,, ) seraient distinctes et prendraient au point Z la meimc
valeur U, ce qui est impossible. II en resulte que la fonction F(Z, v) est de
la forme A -i B) A, B C, D dependant de Z, et, comme ceci a lieu quel que,A(z)+A B(z)
soit Z, l'equation (i) est verifiee par une fonction u(z) (= - -- T )
ou l'on donne 'a une valeur constante (A, B, C, D etant des fonctions uniformes de z qui ne presentent dans le plan que des points essentiels). Toutc
integrale u, (z) de l'equation est donnee par u(z); car on peut choisir des
points Z qui soient des points ordinaires de A, B, C, D, et pour lesquels a,
prenne une valeur U, f(Z, U) etant holomorphe; si l'on donne a v la valeur vo = (z) —U (Z) la fonction u(z, vo), egale a u, au point Z, coinle U 0 (CZ) - - A (Z)
cidc avec u, (z); co peut etre infini, mais eo ne peut etre indetermine qucl
qA B A
que soit Z; sinon on aurait -c i - identiquement, et u= serait indC~ If i]