Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

A,
46

P. PAINLEVt.

it( -F (z, v) a une valeur unique et d~termin~e en chaque point du plan
Zsauf aux points de l'ensemble E. Je dis que u(z) est une fonction analylique de yv; la chose vient de'~tre dernontre'e pour les points Z voisins de z0*
Prenons dans le plan des,z un point Z quelconque, qui ne coi ncide avec
aucuin des points singuliers E de l'inte'grale u (z, au), et joignons z Z par un
cheinin L qui ne renferme e6galement aucun des points E. 'Quand z de'crit
Lu u.z) F (z, u,0) de'rit un chemin L'. Soil Z' un point de L. On pent
trouver deux nornbres p et r-, independants de la position de Z' sur L et tels
qu'en de'crivant deux cercies, le premier C de centre Z' et de rayon p, le second. C de centre u(Z', ua0) et de rayon 7r, J(z, u) soiL holomorphe et. ait
uin module inf~rieur 'a M, qnand z vanie dans C et u dans C' (en effetL, pour
chaque point Z', - et p existent; ii suffit de prendre leurs valeurs minima
quand Z' de'crit L; ces minima existent, sinon 7r ou tendrait vers zero
(1.uand z. tend vers un point Z', mais en ce point Z', 7 et ont tine -valeur diffe'rente de zero, et l'Ion en conclut qu'iI en est de umhine pour les points votL
sins). Ii suffit de prouver que F'(Z, 9) est fonction holornorphe de v pour
dles valeurs de v voisines de uo; de'crivons du point z0, comme centre un
cerele C0 de rayon II -p- - e21P) etL du point ua0 un cerele Q de rayon
Si Z' est tin point de L, intc'rieur 'a C0, la se'rie
estA fonction holomorphe de v dans le cercle CG pordes valeurs v vo'sine
(le u0 C/ prend des valeurs voisines de U' - F(Z' uo); de'crivons alors un
cerele C, du point Z' comme centre avec RI comine rayon, du point U' tin
cerele Qi de rayon eL;e soit Z" un point de L inte'rieur 't C1 et compris
2
ent~re Z' et Z. La se'rie
est fonction hiolomorphe de y" dans C'4 pasi'te fonction holomorphe de c
dans le voisin-age de a0. En raisonnant sur Z" comme sur Z' et, ainsi de
suite, on arrive a un cercie C renferinant Z, et l'on voit que V -F(Z, 9) est
fonction holomorphe de v dans le voisinage de uo I a proposition est
e tablie.
La fonction a F 'z, 9) est done une fonction- analylique des deux variables zet c. Si l'on excepte les. valeurs Z' pour lesquelles/(z, u) est d-is