Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 4

It 3

forine on ne prenne qu'e n valeurs quand z et ut varient respectivement dans
tout le plan. De pius, pour toute valeur zo de z, sauf pour- les p oin ts
(('une suite ponctuelle, les points d'inde'termin ation de f(zo, it) ne formenii.
dans le plan des it qu'une suite ponctuelle dont les affixes dependent analytiquement de zo. Pour les points z1, f(z, uo) est infinie on ind~termin'-e
(Itel que soit it0. [Le point ocest un point.z,, si, pour z'2z: o -,2fi7u)U
est discontinue, quel que soil uo.] Nous convenons de dire, pour abre'ger,
que lcofflicient f (z, it) ne prdsente qite des sin gilar-ites or-dinairs
quand les conditions7 prWcdentes sont vn/idit'es. Dans les applications qui.
vont suivre, nous admettrons toujours (a' momns d'indication contraire) quc,
les fonctionsf(z, it) conside'rees rentrent dans cette cate~gorie.
Cette hypothe'se f~aite, Si une integrale it(z) esL uniforme danls tout lFespace du plan oii l'on pent la prolonger, elie ne saurait presenter de couipure,
(A par, suite existe dans tout le plan. De plus, elie ne peut admnettr-e d'autres points essentiels que les points z,.
De Mmie, Si une inte'grale u(z) ne prend. que nt valeurs dans 1Fespace du
plan oui cule exitste, dile existe dans tout le plan ct veri/ite une eqitation alge'birique
o Ut lesfonctions %,,(z),... p(z) sont uniformes et neprdesenteni pas claus
lc plan des z d'alittre points essentiels que les po ints, Ijces pointLs ne
sont pas d'ailleurs ne'cessairemnent des points essentiels de ut(z)].
Si les points z, n'existent pas [c'esL-4t-dire Si la fonctionf(z-:-, it) n'est di-scontinue quel que soit it pour aucun point z, du plan et s'il en est de me'mede la fonction -f It)1 to ute int gral unfr e de l'quation est 71(cessair-ement itne fraction r-ationnelle de z; toute intedgrale qiti n'ad-wt
que n vale urs est nedcessaitre~nentl unefonction algdebr-iq ue de z,.
Nous allons donner quelques applications des re'sultats precedents.
6. Applications (li tlet0orene p7recedlent. -En premiter lieu, j 'envisageo
fequation
-t P (Z, ii)

o' P et Q sont deux polymres en z don le ofienis soucle octin