Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE',

Rappelons qu'il n'existe en ge'nh'al qu'un nombre fini' d'int~grales prenant au point z0, la valeur c,,,(z0,) et que z0, est un point critique alge'brique,
de ces integrales; il n'y a d'exception que si la quanhtit T -- - it est unite
pour z -z., u -.c,11(z0), it' f(z0,, c,,). Ceci n'a lieu d'ordinaire que pour
des points particuliers ~z' de S. Quand les trois relations
sont compatibles pour toute valeur de z, z0, n'est encore en general qu'un
point alge'brique des integr~ales e'gales 'a c,,,(z0,) pour z =zo; il n'y a d'exception que. pour des points particuliers z' v~rifiant une certaine relation
(distincte de F o, d 0o.
Ces remarques faites, on voit, comme plus haut, que, (les points z' excepte's), si un point z. est un point singulier non alge'brique de l'inte'grale
itu tend neukessair-ement ver-s unie des Valeur-S a,,(z0,) quand z tend1
vers z0. Pour les points z' it peut tendre aussi vers une valeur c,,(z'). On
Lire de Ia' les me'mes conclusions que plus haut: si u(z) est uniforme, on ne
prend que it valeurs dans 1, u est continuable an dela' de a7 et ne presente
dans quc des points singuliers alge'briques.
Les sculs points ott une integrale u(z) puisse e'tre inde'termine'e souL,
com~e pr cdemment, les points z0,, p'les on points d'inde'termination de
f~z it~y10 ), quel que soit uo0. It pent existLer des points z, qni soient pour toute
Yaleur de 110 des points critiques (mnais non de discontinuite6) de f(z, it0);
daus cc cas, J(z, ut0) admet z, comme point critique alge'briquc d'ordre p
au plus; etfAz, a0) se met sons la forrme
j(z, u0) A (a0) (z -.z0 )/ -i- B ("o) (z1M. - Z1 )
Si 1'on pose (z - z )", on voit quc le'quation
da _
di P tpt f (z,~ t', a1)
ne presente plus pour t o la me'me sinulnarite'; u (l) ne pouvant 6 etre mnde)termininie pour It- o, il en est de me'me de it(z) pour z,=z.
En particulier, supposous quc le coefficient diffi~rcntielf(z, it) soit um