Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

4o

P. PAINLEVE.

de rayon R' superieur a R; R' - R I- h. A l'interieur de C' les points singuliers
a,,Z, b,7def(, u) ne forment qu'une suite ponctuellc. Nous admettons qu'aucun
de ces points ne se trouve sur C ou C' (sinon on augmenterait un peu R ou R').
On peut done enfermer les points am, b,, dansp cercles c, dont les centres
sont certains de ces points (a',..., a,), de rayon r inf6rieur a {, et tels quo,
les p cercles c' concentriques et de rayon double 27', n'aient entre eux ou
avec C et C' aucun point commun. La distance minima de deux points situ6s respectivement sur les circonferences de deux cercles c', C ou C' est
done un nombre fini k. Designons par k' la plus grande des quantites k
et 0 Pour des points z voisins de ~, les points a,,, b, sont compris dans p
cercles de centres a' ( a),..., ap(z) et de rayon r', r' differant peu de r.
Tracons dans le plan des z un cercle y de centre ~ et de rayon 8 assez petit
pour quoe a'(z)- a('() I et 1r'- 7- soient infdrieurs 'a k' cuand z varic
dans Y. On voit qu'alors les points a,n, b,n restent compris dans p ccrcles c,
de rayon p' inferieur ta et tels que les p cercles conccntriques c,, de rayon
double, n'aient pas de points communs entre eux, ni avec C et C'. Ceci
pose, appelons S, l'espace de C' exterieur aux cercles c,, S. l'espace de C
ext6ricur aux cercles c',, M le module maximum de f(z, u) quand z varie
dans y et u dans S,. Pour tout point z0 compris dans un cercle y' concentrique a ye t de rayon 8'= -, et pour tout point u0 de S2, la fonction
f(z, u) est holomorphe et de module au plus 6gal 1 M quand z varie dans
un cercle de centre z0 et de rayon 8', et u dans un cercle de centre u0 et de
rayon 1, I designant la plus petite des quantites h et p'. On en conclut quc
route intdgrale, egale a u0 au point z0, est holomorphe dans un cercle dc
centre z0 et de rayon cld- - -e.
Mais, si voisin que z' soit de ~, z decrivant X entre z' et 1, u(z) qui varie
avec z d'une maniere continue n'est ni constamment exterieur a C, ni constamment interieur aux cercles c',; done, pour des valeurs de z0 telles que
[Z — \ soit inferieur a d, u coincide avec des points u0 de S3; mais il
n'existe qu'une integrale egale- a u0 au point z0, et cette integrale est holomorphe dans un cercle de centre Z0 et dc rayon d, par suite au point c, ce
qui est contraire a l'hypothese.