Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVE.

3$ P. PAINLEVE.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(dans le voisinage de laquelle cite ne prend que it valeurs), Ia moins que la
condition precedente ne.soit remplie pour tous les points ~ de L, ce qui
exige que les valeurs z de g(u), pour tout point it, for-ment une suite Ii,Lleai7re ayant L pour- limite. Un exemple de ce faiL est offert par la fonction
modulaire z - (it). La fonctiou inverse itu (co) est uniforme et presente 1Faxe des valeurs re'elles pour coupure les valeurs de o. qni correspondent 'a tin point ut fornient une suite line'aire, ayant cet axe pour ulitie.
La me'me mehthode va nous permettre de de'montrer un the'orerme utile
dans la the'orie des equations diff~rentielles du premier ordre.
5. Th edo 71 me sur- les fnclions defifnies par- un7e equtation difff~7eniliel. - SoA iL = f (z, it) une equation diff6rentielle du premier ordre,
oif f(z, it) est une fonction uniforme de z et it quand z vanec dans une aire
S et it dans le plan des it. Nous rappellerons d'abord quelques proprie'Les
connues de l'inte'grale d'une telle equation.
Si une inte'grale it (z) tend vers it0 quand z tend vers z, fe0 i0 tant
holomorphe, cette integrale est elle-me'me holomorphe dans le voisinage de
z0 1et de~veloppable par suite en se'rie de Taylor dont on sait calculer les
coefficients. Ii n'existe pas d'autre inhegrate prenaut an point z0 la valeur
it0, c'est-a'-dire tendant vers it0 quand z tend vers z0, sur un chemin de iongntenr finie.
Si la valeur def(.z0, it0) est infinie, il existe toujours une de'rive'e de 2
f
par rapport 'a u d'nn certain.ordre do ti par exemplej qni ne s'anniule pas pour (z0, it0), et le point zo est un point critique alge'brique de
u (z) antour duquel se pemmutent p -+- valeurs.
Quand, ztendaut vers z u i tend vers 1'infini, on pose it et la fonction it1 ve'rifie le'qnation
Si f (z0, o) est holoim-orphie, zo est un po'le cle u(z); sif, (z0, o) est infinie,
/-I est 'a la fois un po'le et un point critique alge'brique de l'inte'grale.
Ce qni pre'ced~e s'e'tend an cas oiui le point zo est le point -.r dn plan des z:,,;