Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SURI LES LIGNES SINGULIfERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 3

37

nmaniere continue; autremont, d'apre's les lonunes &'ablis an de'but do cc
Chapitro, u(z) serait indl'termine'e quand z tendrait vers L sur certains
chemins. Les valours de u('z) lo long de L coincidont donc avoc iine deterrnination a,,(z) de A~z), cjui, par hypothese, ne pre'sentant pas clans de
suite lin6aire do points critiques, ost uniforme le long d'un certain segmeit
L1 do L. Lcs dcnx fonctions u( z) et a,, (z) iniformes d'un co'te do L' dans
le voisinagoe do cette ligno, L coincidant le long de Cette ligne, coi.ncident
identiquemont, cl'apre's le the'ore'me fondamontal, ce cjui est impossible
puisue faM(z), z] ost constammontL ind'tormin'o..
Lo raisonnoienon subsisto si utz prond dans I los nivale'urs it, 112,..I.,
ai condition do conside'ror lo procluit
qui s'annulo sur L.
Quandf(z, it) satisfait aux conditions e'nonce'es, sauf pour dos points Z0O
do S qui no forment pas do suite line'aire [ces points sont des. points essentiels def(Z5, ito), cjuel quo soiL uoj, la fonction u(z) pout admettro ces
points Z0o conmni points d'inde'ermination (points essontiols), ot, par suite,
comme points limites do po'les ou do points critiques alge'briques.
Rmrque. - Si la fonction f~z u) est une fonction multiforine, 1ais
pent e6tro consid're'o comme de'finie par une relation G(f, ZI, u) -o, Gi
C&ant uniforme, on remplaco le'quation f o par G(o, z, ut) o. Mais
quand f ('Z, it) est une fonction niultiforme quelconque, los the'ore'mes prec'dents cessent d'e'tre exacts. Conside'rons, par exeinpie, uno equation
-g(u) o, g e'tant une fonction multiformo qui n'admet dans le plan
des it qu'uno suite ponctuelle do points singuliers a0,... a,0. Quand z
tend -NOer tin point singrulier d, cune racmne it(z), it tend vers une des valeours ami, oit esti ludd'ierminede. Mais, dans ce dernier cas, on no pout trouver
_p determinations do g( it), telles quo, pour des valours voiisines do ui satisfasse ' la relation F (z, it) =(z g1 )(z g2). ( gp) O' Sinon, en
raisonnant sur e'6quation F -- o, on -verrait quo it tend vors uno limito quand
-z tend vors ~. Ii faut donc qu'on puisso former a-vec des valours do g( it) une
vors. o avec - quand it de'crit un chemin fini dans be plan, et, par suite,
quol quo soit it. Une racine t(ZI) no saurait donc presentor uno couipuro L