Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULItRES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

9,3-1)

Oil (pM, 9,4 *.7, y sont holomorphes dans S. Il suffit de conside'rer le pro(hut
Vz?,n11x (it - a1,) (it- a,,) U- i"?,,,)I (Z) -I- 117'-'o,1 CII(Z) +. -t (ZQ),
et de raisonner Sur V comme dans lc premnier cas. On voit que V devraiL
etre ide-ntiquement nul1, ce qui est impossible, puisquef(z, ut) -o par bypotlheso, et quef(z, a,.) est inde'termine'e.
Nous pouvons, en definitive, e'noncer le the'ore'me sui-vant:
rilE OREME II. -Soitf (z, u) une fonction uniforme des deux variablesz
et it telic que, pour toute valeur z0, de z inte'rieure 'a une aire S, la fonction
f(z0,, it) iie pre'sente dans he plan des it que in points essentiels, dont les
Caffixes sont des fonictions analytiques de z. Si le'qualion f(z, it) -o
n'-~admet qu'un nontb7re n1 de 7racines pou7 des points Z'fori7nant Clans unei
aire in inidrie ur7e a' S, une suite lindaire, it en est de ineime pour- tOUs les
points z,~ de S.
En effet, Si I, designe uiie ligne lirnite de la suite des points z', la de~moustration precedente prouve que l'~quation ne pent avoir plus de it racines
pour les points z, voisins de L. Conside'rons donc tons les points de S pour
lesquelsf - o n'a pas plus die it racines. Ces points forment une certaine
aieS'- si 5' est inte'rieure A- elle est se'paree du reste de S par Line higi-i
L', et pour des points z voisins de L', inte'rieurs 'a S et exte'rieurs A 5', l'quationf o doit avoir plus de it racines, cc qui est impossible. La fonction u~z), de'finie parf - o, n'admetL dans S que it valeurs au plus, et n'y
est jamais inde'termine'e. On en conclut qu'elle ve'rifie une relation de ht
forme
'~~ '~-~.., ~ Lant holomorphes dans S.
En particulier, supposons cjue la fonctionf/ satisfasse aux conditions pre'cc'dentes pour tous ics points:141 du plan z, sauf pour les points zo d'une
suite ponctuelle [ces points z —I sont des points essentiels de la fonction1
f (Z,1 it0), quel que soit it0. Si, pour un point z,, le'quation en it, (z, u) =0
a une infinit6' de racines, les points z pour lesquels elle n'en a qu'un nombre
donne' itne forment dans he plan qu'une suite ponctuelle. Les points z,,
sont les souls oui une racine ut puisse Rre inde'termine'e. Soit, par exemple,
l'6cquation e".- ~f(z), oii f (z) est unifornie dans he plan des z et adnet des