Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

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P. PAINLEVt.

I'lA: esi un point critique algedbriqute def(z). En effet, on peut d~velopper
f (z) de la mianie're suivante
f (z) - P -d- o-iQ (Po +I iQ,) +~ a (z - Z,)p+
Si Z, de'critp fois un petit cercie de centre zo, P +d iQ de'crit un contour en.fermant P0 -i- i Q 0; par suite, P prend. des valeurs. inf6rieures et superieures
ai PO dans le voisinage de x0y0 YOIt la me'me chose a lieu pour Q et Q0.
Nous pouvons de'montrer maintenaut le tlheore'me e'nonce& Pour Z_ - 0
l'6qua Lion a par hypothe'se une infinlite' de' racines. Conside'rons dans l'aireN,
int~rieure 'a S et comprenant z0, tons les points z' pour lesquels le'quation
f~z' it o n'a pas plus de nz racines, ct supposons que ces points forment
un ensemble superficiel. IUs comprennent alors toits les points d'une certaine
aire S'; car, si pour un point z0, e'~quation f(zo, it) -o a nZ +i i racines, ces
(nt + i) racines peuvent se de'velopper en s6rie dans un certain cercle de
centre Z10, et pour les points z. dec ercle, I'equation a (it -v- i) racines.
Cet espace 5' est se'pare du reste de I par une ligne continue L, et pour
tout point d0ce L, l'~quation f(zo, it) =- o n'a pas plus de nt racines; sinon
ii en serait de ine'me pour les points de S' voisins de zo.
be me'me, si les points zg forment un ensemble line'airc ayant pour limite
une ligne L, pour tout point z0, de L e'~quation f (zo, it) -— o n'a pas plus de
it racines. Soit donc v le nombre m-aximutm des racines de f(z,, it) =o
qnand zo de'crit un segment. dc L (v est infe'rieur on egal 'a 71). Ponr z, -
I'equation f o a v racines. Si ~ est un point critique alge'brique de Pune
d'dllcs, on le remplace par un point zo voisin; an point zo ainsi choisi, les
vraciucs sont holomorphes et de'veloppables en se'rie de Taylor dans uin
certa-in crere C de centre z,,.
Pour des points Z1 de C voisins de L et exte'rieurs 'a S' (si 5' existe), Fe'qua ti-on f (z, it ) =o admet des racines it' distinctes des pre&cedenutes et ne so
perrnittant pas avec ciles 'a Finte'ricur de C. Joignons z 'tun point z0 de L,
par un chemin de Iongucur finie contenu clans C?.si la fonction it est de'
fmiei le long de )~, elle tend vers l'infini quand z tend vers z0 Sur?,; sinon,
ice chemin11 ~, renferme un point pour lequel it devient minfic.
Tout d'abord, si l'on pent se'parer un nombre fini de valcurs de it qui ne
Se permutent qu'cntrc elles daus le voisinage de L, le prodnit it',.,.i' est
nuforme aux environs de L et doit tendre vers li~nfini le long de cette
line: le the'orc'me e'tabli dans le paragraphe precedent montre quo C est
unpossible.