Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ...

SUR LES LIGNES SINGULIERES DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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variant avec M d'unze maniere continue. On peut donner de la derniere
proposition une demonstration qui s'applique a une courbe con0ti7zue quetconque.
Il suffit de prouver que, si la fonction f(z) holomorphe dans S s'annule
le long de AB, elle est nulle dans S. Soit zo et z1 deux points de AB; posons z' - (z - z) (cos +- i sina); a la ligne AB et h l'aire S correspondent une ligne A'B' et une aire S' qu'on obtient en faisant tourner AB et S
de l'angle a autour du point z0. Posons de mmee z" -- (z - z,) (cos3 + t isin );
a AB et a S correspondent A"B" et S". En prenant les points z,,, assez
voisins, on peut choisir les angles a et de telle sorte que les aires S, S', S"
aient une partie commune Z limitee par des fragments de AB, A'B', A"B".
Considerons le produit f(z)f(z')f(z"). C'est une fonction de z holomorphe dans Z, car f(z) est holomorphe dans S,f(z')dans S', f(z")dans S".
De plus, ce produit P + iQ s'annule sur le contour a- de 2. Les deux fonctions P, Q, regulieres dans -, satisfont dans cette aire aux equations
AP = o, AQ = o et s'annulent sur o; elles sont done identiquement nullcs.
II en resulte qu'un au moins des trois facteurs et, par suite, les trois facteurs
duproduit, sont nuls dans Z. La fonction (z) est nulle dans Faire S.
Ajoutons encore que, si la fonction f(z) est continue le long de AB et
s'annule en des points formant un ensemble lineaire ayant AB pour limite,
f(z) s'annule le long de AB; autrement, elle prendrait pour des points infiniment voisins des valeurs discontinues; elle pst done identiquement nulle
dans S.
Nous allons appliquer immediatement les remarques precedentes a l'etude de quelques proprietes des fonctions definies par une relation implicite
ou une equation diff6rentielle.
4. Theori7mes sur les fonctions implicites. - Soitf(z, u) une fonction
uniforme d dedeux variables z et u, holomorphe quel que soit u (sauf pour
ur) quand z varie dans une aire simple S. Si l'Iquation en u,f(z0, u) = o,
(zo etant un point de S), a une infinite de racines, les points z pour lesquels l'equation 7z'a qu'un nznobre7 donnle, 7z, de racines for7enlt au
plus clans Z une suite ponctuelle, Z etant un espace quelconque interieur
a S, sans points communs avec son contour s.
Supposons que la fonction f(z, u) s'annule pour z -- z0, itu- Ui. Quand
f (zO, uo) n'est pas nul, l'equationf(z, u) = o definit une fonction de u
egale a u0 pour z = z0, et homolorphe dans le voisinage de z = 0. Quand